zdarzenia niezależne

[lukasz1804]

Z urny zawierającej 2 kule białe i 4 czarne losujemy 2 razy po jednej kuli zwracając za każdym razem wylosowaną kulę do urny. Zdarzenie A polega na wylosowaniu co najmniej jednej kuli białej, a zdarzenie B na wylosowaniu co najmniej jednej kuli czarnej. Czy zdarzenia A i B są niezależne?

Wg moich obliczeń nie są niezależne, ale w zbiorze zadań, z któego pochodzi to zadanie autorzy są przeciwnego zdania. Dziękuję z góry za pomoc

[Undre]

niezależność zdarzeń podług wzoru :

\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) P(B)}\)

licząc na szybko wyszło mi takie coś ( mam nadzieję bez błędów )

\(\displaystyle{ A'}\) - losujemy 2 razy czarną
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{16}{36}}\) skąd \(\displaystyle{ P(A) = \frac{20}{36}}\)

\(\displaystyle{ B'}\) - losujemy 2 razy białą
\(\displaystyle{ P(B') = \frac{4}{36}}\) skąd \(\displaystyle{ P(B) = \frac{32}{36}}\)

\(\displaystyle{ A \cap B}\) - losujemy jedną białą i jedną czarną
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{8}{36}}\)

Pierwsza równość więc nie zachodzi.

[Janek Kos]

Masz rację, nie są niezależne.
B-biała kula, C- czarna.
\(\displaystyle{ A=\{(B,C),(B,B)\}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{5}{9}}\)
\(\displaystyle{ B=\{(C,B),(C,C)\}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{8}{9}}\)
\(\displaystyle{ A\cup B=\{(C,B)\}}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac{4}{9}\ \ ale\ P(A)P(B)=\frac{40}{81}}\)