Para punktów spełniająca nierówność.

[bartek.pk]

Witam!

Ze zbioru \(\displaystyle{ \lbrace1,2,...,n\rbrace, n\geqslant2}\) losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Dla jakich n prawdopodobieństwo wylosowania pary (x,y) spełniającej nierówność |x-y|\(\displaystyle{ \geqslant}\)3, jest > 1/3?

Największy problem mam z obliczeniem mocy zdarzenia, że wylosowana para spełnia tę nierówność.

[Janek Kos]

Możemy to zadanie przekształcić równoważnie. Szukamy \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ P( ft| x-y\right| qslant \frac{2}{3}}\). Widzimy, że dowolnie wybrany \(\displaystyle{ x}\) determinuje nam wybór \(\displaystyle{ y}\). Będziemy, więc szukali prawdopodobieństwa wybory \(\displaystyle{ y}\) takiego, aby zachodziła nasza nierówność. Jeśli na chwilę zapomnimy o skrajnych sytuacjach, czyli \(\displaystyle{ x=1,2}\) albo \(\displaystyle{ x=n-1,n}\), to widać, że dla \(\displaystyle{ x \{3,4,...,n-2\}}\) istnieją tylko cztery takie \(\displaystyle{ y}\), które spełniają zadaną nierówność. Dwa po lewej stronie od \(\displaystyle{ x}\) i dwa po prawej, czyli dla \(\displaystyle{ x \{3,4,...,n-2\}}\) mamy \(\displaystyle{ P( ft| x-y\right| \{3,4,...,n-2\})=\frac{n-4}{n}\ i\ n qslant 4}\). Teraz pozostaje nam rozważyć syt. \(\displaystyle{ x=1\ \ x=n}\) i \(\displaystyle{ x=2\ \ x=n-1}\) . W pierwszym wypadku \(\displaystyle{ P( ft| x-y\right| \ x=n)=\frac{2}{n}}\) a w drugim \(\displaystyle{ P( ft| x-y\right| \ x=n-1)=\frac{2}{n}}\). Żeby obliczyć nasze \(\displaystyle{ n}\) musimy rozwiązać nierówność :
\(\displaystyle{ (\frac{n-4}{n})(\frac{4}{n-1})+(\frac{2}{n})(\frac{2}{n-1})+(\frac{2}{n})(\frac{3}{n-1}) qslant \frac{2}{3}}\).