[Wyzwanie] Handel diabelskimi paktami

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 3 gru 2007, o 20:09

Zawarłem przed chwila z diabuem taka umowę: Na miły początek dostaję jedną monetę. Raz na dzień rzucam uczciwie monetą. Reszka - oddaje monetę diabłu, orzeł - zatrzymuje ją i dostaje jeszcze jedną ekstra od diabua. Jak sie wyzbędę zasobów, to diabeu nadziewa mą duszę na widły i zabiera do piekła. plus jest taki, ze mogę żyć wiecznie dopóki posiadam przynajmniej jeden pieniążek.

W chwilę potem koleżanka Ania proponuje mi wymianę paktów. W jej cyrografie stoi, że traci duszę, jeśli w jutrzejszym, pojedynczym losowaniu liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) (rozkład równomierny) liczba ta będzie większa od stałej \(\displaystyle{ a}\) (ustalonej z diabuem przed podpisaniem paktu), w przeciwnym wypadku dane jej będzie wieczne życie. Mój pierwszy rzut moneta odbedzie sie dopiero po losowaniu Ani.

Pytanie: Przy jakim \(\displaystyle{ a}\) Ani wymiana jest dla mnie na pewno korzystna, a przy jakim na pewno nie? Oszacuj jak najciaśniej, a jeśli to możliwe - policz dokładnie.

---Edit---
Nie chcialem tego umieszczac w zadaniu, bo wydaje mi sie to oczywiste, ale sie rozmyslilem (po publikacji ponizszego postu) i podaje dla scislosci...:
Handel jest dla mnie korzystny, jesli szansa na utrate duszy (data utraty nie ma znaczenia) przy moim pakcie jest wieksza niz przy pakcie Ani. Jest niekorzystny gdy jest mniejsza rowna.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 5 gru 2007, o 20:58

Miedzy tymi cyrografami istnieje subtelna roznica, pierwszy NIGDY nie gwarantuje zycia wiecznego, natomiast w przypadku drugiego nawet dla bardzo malego a istnieje szansa na zycie wieczne. mozna wiec powiedziec, ze korzystniejsza jest opcja 2, jesli przyjac, ze korzystnniejsze jest przezycie (ozn. \(\displaystyle{ n}\)) dni przy \(\displaystyle{ n }\)
Mozna tez przeanalizowac, jakie jest p-stwo przezycia \(\displaystyle{ n}\) dni (innymi slowy smierci po \(\displaystyle{ n}\) dniach) dla opcji pierwszej. Mamy wiec:
p-stwo smierci po:
1 dniu = 0.5
2 dniach = 0
3 dniach = 0.125
4 dniach = 0
5 dniach = 0.0625
etc.

widac wiec chyba co jest korzystniejsze.

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 5 gru 2007, o 21:34

Przeczytaj moj edit pierwszego postu. Byc moze naswietli nieco sprawe.

widac wiec chyba co jest korzystniejsze

Niestety, dla formalnosci musisz jeszcze zrobic taka rzecz:
Zeby uzasadnic, ze dla kazdego \(\displaystyle{ a > 0}\) handel jest korzystny, musisz pokazac, ze:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} P_n = 1}\)
Gdzie \(\displaystyle{ P_n}\) to prawdopodobienstwo, ze przy moim pakcie zgine po dokladnie \(\displaystyle{ n}\) dniach.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 5 gru 2007, o 21:39

data utraty duszy ma znaczenie. w przeciwnym razie opcja Ani jest lepsza nawet dla \(\displaystyle{ a=0^+}\)
zastanow sie, kiedy a zalezy od n

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 5 gru 2007, o 21:45

data utraty duszy ma znaczenie

Nie dla mnie, a przeciez to zadanie jest o mnie.
Mozesz zatem dopelnic tej drobnej formalnoci (z mojego poprzedniego postu)?

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 7 gru 2007, o 19:54

sprawdzilem, te p-stwa sumuja sie do 1. Nie bede tego rozpisywal, poniewaz nie znam rownowaznego problemu/dowodu opisanego w literaturze (moge tylko podpowiedziec, ze nieco zmodyfikowalem trojkat pascala i za pomoca tego narzedzia przeprowadzilem dowod). Jesli znasz problem rownowazny, to napisz.

Sam fakt, ze p-stwa sumuja sie do 1 nie rozstrzyga, ktory pakt jest korzystniejszy. Nie wiem, czy to rozumiesz, ale przedmiot/cel/nagroda w kazdym z tych paktow jest inny. W pierwszym przypadku mozemy zyskac kilka dni zycia, natomiast w przypadku 2 gramy o niesmiertelnosc. Sprobuj sobie wyobrazic nieskonczososc absolutna i asymptotyczne dazenie do nieskonczonosci.

PS1. ---Edit--- z pierwszego postu nic nie wnosi

PS2 jesli nadal twierdzisz, ze nie rozumie zadania, to napisz je "jezykiem matematycznym" podaj zalozenia, postaw warunki, ... ale bez uzywania "slow"

PS3. co oznacza znacznik [Wywzanie] w temacie postu?

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 7 gru 2007, o 20:26

Drogi UNIX_admin,
nie chciał bym żebyś odebrał to, co piszę jako jakieś zaczepki ale po przeczytaniu Twojej wypowiedzi bardzo zaciekawiły mnie dwie rzeczy. Pierwsza, to oczywiście Twój dowód, który przecież przeprowadziłeś. A druga, która ściśle łączy się z pierwszą, to sens cytowanej wypowiedzi :

(...)Nie bede tego rozpisywal, poniewaz nie znam rownowaznego problemu/dowodu opisanego w literaturze(...)

Piszę dlatego, że zadanie wydało mi się ciekawe i też trochę o tym myślałem. Problem w literaturze funkcjonuje jako prawdopodobieństwo "ruiny gracza" ale zanim sprawdzę w książce, jeszcze trochę się pomęczę. Pozdrawiam.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 7 gru 2007, o 21:38

Wielkie dzieki za informacje o ruinie gracza. Musze przyznac, ze nie spotkalem sie wczesniej z tym problemem (chyba po raz pierwszy na tym forum znalazlem cos (dla mnie) nowego). poczytam, porownam rozwiazania i cos na ten temat napisze.

A nie chce rozpisywac z kilku powodow:
- moze ktos to bada i zepsulbym mu zabawe
- moze popelnilem blad w zalozeniach (lub np zapomnialem o minusie w 25 linii) i reszta ma sensu
- przepisanie tego do tex'u zajelo by wieki
- a przede wszystkim sam sposob mi sie nie podoba, sprobuje "ladniej"

jeszcze sie odezwe...

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 7 gru 2007, o 21:47

Nie wiem, czy to rozumiesz, ale przedmiot/cel/nagroda w kazdym z tych paktow jest inny

Nie, cele sa takie same - wieczne zycie (co sprobowalem zawrzec w edicie pierwszego postu - jesli niezrozumiale, to moja wina). Jesli posiadacz paktu nie bedzie zyl wiecznie i pojdzie do piekla, to przegrywa.

A oto rownowazne (w stosunku do tego z pierwszego postu) sformulowanie zadania:

Znajdz takie \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), zeby \(\displaystyle{ |b-c|}\) bylo jak najmniejsze (zostawiam tu pewna dowolnosc - niech kazdy znajdzie najlepsze \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) jakie potrafi) i spelniona byla nierownosc
\(\displaystyle{ b qslant \sum_{n=1}^{\infty} P_n qslant c}\)
Gdzie \(\displaystyle{ P_n}\) to prawdopodobienstwo, ze przy moim pakcie zgine po dokladnie \(\displaystyle{ n}\) dniach.

sprawdzilem, te p-stwa sumuja sie do 1

To ekstraordynaryjnie. Gdyby ktos opublikowal tutaj dowod takiego faktu, to oczywiscie zadanie byloby ostatecznie rozwiazane, gdyz wtedy \(\displaystyle{ b = c = 1}\).

co oznacza znacznik [Wywzanie] w temacie postu

Ze to nie jest prosba o pomoc, ale dosc trudna (przynajmniej jak na to forum) zagadka. Mysle jednak, ze w najgorszym wypadku jej rozwiazanie zaberze po prostu nieco czasu. W zasadzie to ta zagadka mi sie nie udala - ani podchwytliwa, ani ciekawa specjalnie, ani nawet jasno sformulowana - tylko czas zebiera.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 8 gru 2007, o 15:51

OK, wiec po kolei:

w przypadku pierwszego paktu zycie wieczne NIE JEST MOZLIWE, innymi slowy z p-stwem rownym 1 po pewnym czasie zginiemy. jest to (moim zdaniem) dosc intuicyjne. zeby to potwierdzic nie trzeba wcale dowodzic, ze wspominana wczesniej suma rowna sie 1. jak sie okazuje mamy tu do czynienia ze szczegolnym przypadkiem problemu ruiny gracza. w takim przypadku p-stwo przezycia \(\displaystyle{ n}\) dni wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jesli zatem \(\displaystyle{ n=\infty}\) to p-stwo to wynosi\(\displaystyle{ \frac{1}{\infty}=0}\) szczegolowy opis tego zagadnienie znajduje sie tutaj:

co do dowodu, ze suma rowna sie 1 to chyba nie ma sensu juz go przytaczac. ja poszedlem bardzo okrezna droga, a mianowicie wyprowadzilem rekurencyjna zaleznosc na p-stwo tego, ze smierc nastapi w kolejnym nieparzystym dniu (bo w dni parzyste nie mozna zginac) podparlem sie faktem, ze dla kazdego dnia suma p-stw tego ze sie zginie lub nie rowna sie 1. dosc latwo wylizca sie jakie jest p-stwo tego, ze sie nie zginie. no i po zsumowaniu przy \(\displaystyle{ n }\) wyszlo 1. zastanawialem sie tez jak to uproscic (bo wydaje mi sie, ze mozna) korzystajac z faktu, ze p-stwo tego, ze danego dnia mamy x monet jest rowne sredniej arytmetycznej p-stw, ze dzien wczesniej mielismy x-1 oraz x+1 monet. moze ktos wie jak to wykozystac?

podtrzymuje swoja opinie, ze cele obu paktow sa ROZNE.

reasumujac, jesli chcemy zyc wiecznie to pakt 2 jest ZAWSZE korzystniejszy, bo tylko on daje taka mozliwosc i to niezaleznie od \(\displaystyle{ a}\)

czekam na komentarze

Janek Kos · Post autor: **Janek Kos** » 8 gru 2007, o 21:18

UNIX_admin pisze:A nie chce rozpisywac z kilku powodow:
- moze ktos to bada i zepsulbym mu zabawe

Zepsułeś mi zabawę. Lepiej byś zrobił pisząc swój dowód niż podstawiając do gotowych wzorów. Teraz tylko zostaje mi oczekiwana długość życia, w przypadku wyboru pierwszego paktu.

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 8 gru 2007, o 23:16

zeby to potwierdzic nie trzeba wcale dowodzic, ze wspominana wczesniej suma rowna sie 1

Okrezne drogi sa jak najbardziej wskazane. Nie musisz liczyc sumy wprost. Jesli jednak pokazesz, ze wieczne zycie nie jest mozliwe, to dowiedziesz rownosci.

p-stwo przezycia \(\displaystyle{ n}\) dni wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

Niezupelnie. Ten ulamek musi miec w mianowniku potege dwojki.

------------------------------------------

Post Scriptum - gwoli wyjasnienia.

Rozwazalem kilka innych zagadek tego typu, stad niefortunne sformulowanie jej w pierwszym poscie (nie moglem sie zdecydowac ktora przedstawic). Opisuje ponizej te odrzucone:

Jaka bede mial szanse na wieczne zycie, kiedy moj pakt nakazuje diabuowi podwoic moja liczbe monet po wyrzuceniu przeze mnie orla? A jaka, kiedy bede dostawal \(\displaystyle{ log(n)}\) monet (zakladajac, ze mam ich \(\displaystyle{ n}\) przed rzutem moneta)? Co, kiedy dostane \(\displaystyle{ c}\) (stala liczbe) monet? W kazdym wypadku przy reszce trace jedna monete.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 9 gru 2007, o 12:40

Niezupelnie. Ten ulamek musi miec w mianowniku potege dwojki.

dlaczego?? przeczytaj to co jest napisane w linku ktory podalem

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 21 gru 2007, o 21:32

dlaczego?? przeczytaj to co jest napisane w linku ktory podalem

Dlaczego? Bo tak jest w moim zadaniu. Ty zdaje sie mowisz o moim zadaniu zredukowanym juz do jakiegos innego (twoja ruina gracza), lub moze jeszcze czyms innym - nie zrozumialem za dobrze o czym, jesli chcialbys to wyjasnic, to mozesz sprobowac PW, ale ostatnio raczej na tym forum nie bywam.

Tak czy owak wspominales, ze rozwiazales zadanko wprost, a nie chcesz przytaczac dowodu, bo szkoda czasu. Jesli jestes dowodu pewien, to znaczy, ze cala robota za Toba.

Artykulu wskazanego przez Ciebie nie czytalem. Strasznie dlugi.

UNIX_admin · Post autor: **UNIX_admin** » 22 gru 2007, o 01:18

zadanie jest juz rozwiazane, wiec chyba nie ma sensu ciagnec dalej tego watku. A wypowiedz

Artykulu wskazanego przez Ciebie nie czytalem. Strasznie dlugi.

pozostawie bez komentarza