prawdopodobieństwo warunkowe

[ta_paula]

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{3}{7}}\), \(\displaystyle{ P(B)= \frac{4}{7}}\), \(\displaystyle{ P(A\cup B')= \frac{5}{7}}\)

Obliczyć
P(A|B)
P(B|A)
P(A'|B')
P(A'|B)

[Janek Kos]

Policzymy wszystkie potrzebne prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{3}{7} P(A')=\frac{4}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{4}{7} P(B')=\frac{3}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B')=P(A)+P(B')-P(A \cap B') P(A \cap B')=\frac{1}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A \cap \Omega)=P(A\cap (B\cup B'))=P((A\cap B)\cup(A\cap B'))=P(A\cap B)+P(A\cap B') P(A\cap B)=P(B\cap A)=\frac{2}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A'\cup B')=1-P((A'\cup B')')=1-P(A\cap B)=\frac{5}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A'\cup B')=P(A')+P(B')-P(A'\cap B') P(A'\cap B')=\frac{2}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(B\cap (A\cup A'))=P(B\cap A)+P(B\cap A') P(A'\cap B)=\frac{2}{7}}\)
To wszystko co jest nam potrzebne do wzoru \(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\) i reszty.