rozkład wykładniczy

[protonka]

Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia (w godz.) jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem\(\displaystyle{ \lambda=2}\) . Obliczyć współczynnik asymetrii i spłaszczenia tego rozkładu.

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ f_\xi(x)=2\cdot e^{-2x}}\) , dla \(\displaystyle{ x>0}\), bedzie gestoscia zmiennej losowej\(\displaystyle{ \xi}\) o rozkladzie wykladniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=2}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \mu=E\xi=\frac{1}{2}\\S^2=\frac{1}{4}}\)

Wspolczynnik asymetrii wyraza sie wzorem:
\(\displaystyle{ A_S=\frac{M_3}{S^3}}\)
, gdzie:
\(\displaystyle{ M_3=\int\limits_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^3 f_\xi(x) dx}\)
\(\displaystyle{ S}\) - odchylenie standardowe

Obliczamy:
\(\displaystyle{ M_3=\int\limits_{0}^{\infty} (x-\frac{1}{2})^3\cdot 2 e^{-2x} dx=-\frac{1}{4}e^{-2x}\cdot (1+3x+4x^3)\ |_{0}^{\infty} =\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ S^3=\frac{1}{8}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ A_S=2}\)
Analogicznie dla kurtozy, ktora wyraza sie wzorem:
\(\displaystyle{ K=\frac{M_4}{S^4}-3}\)
,gdzie:
\(\displaystyle{ M_4=\int\limits_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^4 f_\xi(x) dx}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ M_4=\int\limits_{0}^{\infty} (x-\frac{1}{2})^4\cdot 2 e^{-2x} dx=\frac{9}{16}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ K=\frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{16}} -3=6}\)