trzy liczby i iloczyn
-
aisak7
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 3 razy
trzy liczby i iloczyn
Spośród liczb naturalnych od 1 do 201 losujemy bez zwracania trzy liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 ?
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
trzy liczby i iloczyn
Mamy sobie 3 liczby \(\displaystyle{ k,l,m}\), które przy dzieleniu przez 3 dają odpowiednio reszty \(\displaystyle{ a,b,c\in\{0,1,2\}}\), co można zapisać tak:
\(\displaystyle{ k \equiv a od 3\\l \equiv b od 3\\m \equiv c od 3\\\Downarrow \\ klm\equiv abc od 3}\)
Zatem jak widać reszta iloczynu jest równa iloczynowi reszt. Zobaczmy jakie nam sprzyjają możliwości: jeżeli choć jedna z reszt jest równa 0, to i całość =0, odpada, pozostają trójki 1,1,1; 1,1,2; 1,2,2; 2,2,2;, z których pasują nam 1,1,2 i 2,2,2. Więc żeby nam wyszło to co tam ma wyjść to musimy wylosować 2 liczby postaci \(\displaystyle{ 3p+1}\), jedną \(\displaystyle{ 3q+2}\) lub 3 liczby postaci \(\displaystyle{ 3r+2}\). A dalej łatwo.
\(\displaystyle{ k \equiv a od 3\\l \equiv b od 3\\m \equiv c od 3\\\Downarrow \\ klm\equiv abc od 3}\)
Zatem jak widać reszta iloczynu jest równa iloczynowi reszt. Zobaczmy jakie nam sprzyjają możliwości: jeżeli choć jedna z reszt jest równa 0, to i całość =0, odpada, pozostają trójki 1,1,1; 1,1,2; 1,2,2; 2,2,2;, z których pasują nam 1,1,2 i 2,2,2. Więc żeby nam wyszło to co tam ma wyjść to musimy wylosować 2 liczby postaci \(\displaystyle{ 3p+1}\), jedną \(\displaystyle{ 3q+2}\) lub 3 liczby postaci \(\displaystyle{ 3r+2}\). A dalej łatwo.