wieksza szansa przy ktorym losowaniu?

[ola]

Witam.

Jak mozna rozwiazac zadanie:

Sa dwie loterie. W jednej jest n losow i jeden wygrywa. W drugiej 2n losow i 2 wygrywaja. Kupujemy dwa losy. W ktorej loterii mamy wieksza szanse na wygrana?

Jesli dobrze rozumiem, to wygranan oznacza albo jeden wygrany los, albo dwa. Z tego, co udalo mi sie policzyc, wyszlo, ze w loterii drugiej (prawdopodonbienstwo wygrania w pierwszej loterii wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), w drugiej \(\displaystyle{ \frac{4n-3}{(2n-1)n}}\)). Nie weidzialam, ktore jest wieksze, wiec uzylam podstawienia pod n=4. W pierwszej wyszlo 0,25, a w drugiej okolo 0,46.
Czy dobrze to liczylam? Jesli, nie, to jak jest poprawnie?

[DEXiu]

Hmm. No według mnie to jest tak:
W pierwszej szansa na wylosowanie właściwego losu faktycznie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), ale ponieważ kupujemy dwa losy to nasze szanse się podwajają i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\). W drugiej loterii natomiast sprawa się troszkę komplikuje. Wszystkich możliwych par wylosowanych losów jest tyle ile kombinacji dwuelementowych bez powtórzeń ze zbioru 2n-elementowego, czyli \(\displaystyle{ {2n\choose 2}=\frac{(2n)!}{2!(2n-2)!}=\frac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)}\), natomiast ilość par wygrywających (czyli zawierających co najmniej jeden los wygrywający jest \(\displaystyle{ (2n-1)+(2n-1)-1=4n-3}\). Zatem w drugim losowaniu szansa na wygraną wynosi \(\displaystyle{ \frac{4n-3}{n(2n-1)}}\). Porównujemy szanse z obu losowań szacując ich iloraz:
\(\displaystyle{ \Large\frac{\frac{2}{n}}{\frac{4n-3}{n(2n-1)}}=\frac{4n^{2}-2n}{4n^{2}-3n}>1}\) co dowodzi, że większe szanse mamy w pierwszym losowaniu.

Sorry jeśli się gdzieś walnąłem, ale jestem zmęczony, jest prawie 11 w nocy i jestem bardzo przygnębiony (nie muszę mówić chyba czym)

[Maniek]

\(\displaystyle{ \frac{4n^{2}-2n}{4n^{2}-3n}>1}\) napisałeś coś taiego o ile wiem i za to nam babka wstawiała pały na miejscu prawdopodobieństwo nie może być wieksze od 1 więc wydaję mi się że jest jakis mały błedzik albo poprostu się walnąleś w czyms

[ola]

nie, nie... to jest dobrze... a tamta nierownosc to chodzi o ten iloraz, ze skoro iloraz tych prawdopodobienstw jest wieksy od 1, to znaczy ze to z licznika jest wieksze.. chyba

dzieki za rozwiazanie

tylko kurcze nie moge zrozumiec jednej rzeczy, jesli w pierwszym losowaniu jest tylko 1 los, ktory wygrywa, to jakim cudem mamy podwojne szanse wygrania,... przeciez nawet jak wylosujemy dwa losy, to jeden tylko moze wygrywac... no ale to sprawa zrozumienia =='

[DEXiu]

W pierwszym losowaniu prawdopodobieństwo się dlatego podwaja, że kupujemy dwa losy zamiast jednego, czyli podczas losowania (jednego losu) mamy podwójną szansę: każdy z naszych 2 losów daje nam taką samą szansę wygrania wynoszącą \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Innymi słowy jeśli podczas losowania nam się nie poszczęści i jeden z losów nie wygra, to mamy jeszcze drugi los który też ma taką samą szansę wygrania jak pierwszy. Łatwo zresztą zauważyc, że gdybyśmy np. wykupili wszystkie losy to nasze szanse wyniosą \(\displaystyle{ \frac{n}{n}=1}\) czyli wygralibyśmy na 100 %