Mam wielki problem z rozwiazaniem tych zadan a matemetyke mialam 4 lata temu prosze wiec o wyrozumialosc i pomoc
Zadanie 1. Rzucamy trzy razy symetryczna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo ze:
a) co najmniej raz wypadnie jedynka
b)co najmniej raz wypadnie parzysta liczba oczek
c) co najmniej raz wypadnie szóstka
d) co najwyżej dwa razy wypadnie parzysta liczba oczek
Zadanie 2. Z trzech fabryk zakupiono po jednej sztuce towaru. Pierwsza fabryka produkuje 90%, druga 80% a trzecia 70% wyrobów pierwszego gatunku. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze spośród trzech zakupionych sztuk co najmniej jedna jest pierwszego gatunku ??
Prawdopodobieństwo w rzucie kostka... i nie tylko
-
Undre
- Użytkownik
- Posty: 1430
- Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: UĆ
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 92 razy
Prawdopodobieństwo w rzucie kostka... i nie tylko
Ad 1. Przy każdym wyrzucie możesz otrzymać 6 różnych wyników. Zatem przy trzech rzutach otrzymasz \(\displaystyle{ 6^3}\) opcji czyli 216 możliwych kombinacji ( typu 6,6,6 czy 3,5,1 itd ).
a) Aby co najmnij raz wypadła jedynka, musisz założyć, że jeden z tych rzutów daje 1 oczko, więc rozpatrywać opcje typu 1,x,x gdzie \(\displaystyle{ x \in {1,2,3,4,5,6}}\) Takich możliwości masz zatem \(\displaystyle{ 6^2}\), czyli prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
b) Analogicznie rozpatrujesz zestawienie liczbowe typu x, y, y gdzie \(\displaystyle{ x \in {2,4,6}}\) zaś \(\displaystyle{ y \in {1,2,3,4,5,6}}\) zaś \(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)
c) tak samo jak a)
d) Łatwiej będzie skorzystać z następującej własności :
\(\displaystyle{ P(D) = 1 - P(D')}\), gdzie naszym zdarzeniem D' jest właśnie wypadnięcie trzykrotne parzystej liczby oczek, a ta oczywiście wyrażona jest poprzez układ x,x,x gdzie \(\displaystyle{ x \in {2,4,6}}\) tak więc \(\displaystyle{ P(D') = \frac{1}{8}, \ \ \ \ P(D) = \frac{7}{8}}\)
a) Aby co najmnij raz wypadła jedynka, musisz założyć, że jeden z tych rzutów daje 1 oczko, więc rozpatrywać opcje typu 1,x,x gdzie \(\displaystyle{ x \in {1,2,3,4,5,6}}\) Takich możliwości masz zatem \(\displaystyle{ 6^2}\), czyli prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
b) Analogicznie rozpatrujesz zestawienie liczbowe typu x, y, y gdzie \(\displaystyle{ x \in {2,4,6}}\) zaś \(\displaystyle{ y \in {1,2,3,4,5,6}}\) zaś \(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{2}}\)
c) tak samo jak a)
d) Łatwiej będzie skorzystać z następującej własności :
\(\displaystyle{ P(D) = 1 - P(D')}\), gdzie naszym zdarzeniem D' jest właśnie wypadnięcie trzykrotne parzystej liczby oczek, a ta oczywiście wyrażona jest poprzez układ x,x,x gdzie \(\displaystyle{ x \in {2,4,6}}\) tak więc \(\displaystyle{ P(D') = \frac{1}{8}, \ \ \ \ P(D) = \frac{7}{8}}\)
Prawdopodobieństwo w rzucie kostka... i nie tylko
12 lat minęło i ciągle nikt nie zauważył ewidentnego błędu. W odpowiedzi a) od Undre rzuca się w oczy, że prawdopodobieństwo wypadnięcia co najmniej raz jedynki przy trzech rzutach powinno być większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) (przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) to prawdopodobieństwo przy pierwszym rzucie, a tu mamy do dyspozycji jeszcze dwa rzuty).
Liczymy je następująco:
\(\displaystyle{ \frac{91}{216}}\) (czyli znacznie wyższe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\))
Liczymy je następująco:
- Liczba wszystkich możliwych wyników trzech rzutów to \(\displaystyle{ 6^{3}}\) (są to wariacje trójelementowe zbioru sześcioelementowego). Mamy więc \(\displaystyle{ 216}\) możliwych wyników.
- Liczba wyników nie zawierających żadnej jedynki to \(\displaystyle{ 5^{3}}\) czyli \(\displaystyle{ 125}\).
A więc liczba wyników zawierających przynajmniej jedną jedynkę to \(\displaystyle{ 216-125=91}\).
\(\displaystyle{ \frac{91}{216}}\) (czyli znacznie wyższe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\))