Matematyka.pl

Strzelec oddaje n niezależnych strzałów do celu, przy czym prawdopodobieństwo chybienia do celu w k-tym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{(k+1)^{2}} (k=1,2,...,n)}\) . Wykaż, że prawdopodobieństwo trafienia we wszystkich n strzałach wynosi \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2(n+1)}}\)

trzeba to zrobić indukcją, tyle wiem =] z góry dziękuję za pomoc...

prawdopodobieństwo trafienia to

\(\displaystyle{ \frac{(k+1)^{2}-1}{(k+1)^{2}} (k=1,2,...,n)}\)

prawdopodobieństwo że trafi wszystkie n strzałow to:

\(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}}\)

pokażemy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}=\frac{n+2}{2(n+1)}}\)

1 krok jak zwykle działa:)
3/4=3/(2*2)

2 krok chcemy pokazać że \(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}=\frac{n+2}{2(n+1)}
\frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+2)^{2}-1}{(n+2)^{2}}=\frac{n+3}{2(n+2)}}\)

Dw.
\(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+2)^{2}-1}{(n+2)^{2}}=
\frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}\frac{(n+2)^{2}-1}{(n+2)^{2}}
=z.zal.ind=\frac{n+2}{2(n+1)}\frac{(n+2)^{2}-1}{(n+2)^{2}}=\frac{n+3}{2(n+2)}}\)





oczywiście można to udowodnić ładniej:
\(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}=
\frac{1*3}{(2)^{2}}*\frac{2*4}{(3)^{2}}*...*\frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}}\)
widać, że nam się prawie wszystko poskraca. zostanie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}*\frac{(n+2)}{(n+1)}}\)

czyli mamy \(\displaystyle{ \frac{(2)^{2}-1}{(2)^{2}}\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}}*...*\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}=
\frac{n+2}{2(n+1)}}\)