Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
patryk922
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 1 raz

Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: patryk922 »

Cześć, mam zagwozdkę od kilku dni, próbując wyliczyć prawdopodobieństwo, które poniżej postaram się opisać.

Przyjmijmy, że mamy 4 zdarzenia z danym prawdopodobieństwem:
A - 70%
B - 20%
C - 40%
D - 80%

W jaki sposób mogę obliczyć, że:
a) wydarzy się jedno lub więcej
b) wydarzy się dwa lub więcej
c) wydarzą się dokładnie dwa

Prawdopodobieństwo na matematyce już ładnych parę lat za mną, i niestety moje możliwości nie pozwalają mi tego rozwikłać :) Będę wdzięczny za naprowadzenie na prawidłowy tok myślenia.
Awatar użytkownika
Matematykini
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: Matematykini »

a) Według mnie tutaj najprościej wyliczyć przez zdarzenie przeciwne. Jakie by ono było i jak wyliczyć jego prawdopodobieństwo?
patryk922
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: patryk922 »

Faktycznie, dla ułatwienia opisania tego problemu zmniejszyłem liczbę zdarzeń, opcję a) można wyliczyć właśnie z tego. Schody natomiast pojawiają się w przypadku minimum dwóch i minimum trzech zdarzeń, a także przy dokładnej liczbie. Kompletnie nie wiem z jakiej strony to ugryźć :roll:
Awatar użytkownika
Matematykini
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: Matematykini »

To weźmy najpierw dokładnie dwa zdarzenia.

Będziemy korzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Jakie mamy opcje do wyboru, żeby były dokładnie 2 zdarzenia? Ile jest takich opcji?
patryk922
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: patryk922 »

Jeśli dobrze rozumiem, to będzie 6 opcji:

A i B - 14%
A i C - 28%
A i D - 56%
B i C - 8%
B i D - 16%
C i D - 32%

Lecz nie zakładają one opcji, że zdarzą się jednocześnie pozostałe ze zdarzeń nieopisane w parach, więc nie do końca mogę to połączyć z ostatecznym rozwiązaniem.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: a4karo »

NA podstawie danych z zadania nic nie można powiedzieć o szukanych prawdopodobieństwach
Oblicz je sobie w takich przypadkach
Losujemy jedną liczbę naturalną z przedziału `1-10`.
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-2`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-4`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-8`


A teraz to samo, tylko
Niech `A` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7`
Niech `B` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `8-9`
Niech `C` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `6-9`
Niech `D` oznacza: wylosowano liczbę z przedziału `1-7` lub liczbę `10`

Miłej zabawy
patryk922
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: patryk922 »

Może w taki sposób opiszę lepiej co mam na myśli:

Mamy 4 kosze z białymi i czarnymi kulami:

1) 7 białych i 3 czarne
2) 2 białe i 8 czarnych
3) 4 białe i 6 czarnych
4) 8 białych i 2 czarne

I losuję z każdego kosza po jednej kuli - chciałbym obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) minimum dwóch białych kul
b) dokładnie dwóch białych kul
Awatar użytkownika
Matematykini
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: Matematykini »

patryk922 pisze: 11 sie 2022, o 18:16 Może w taki sposób opiszę lepiej co mam na myśli:

Mamy 4 kosze z białymi i czarnymi kulami:

1) 7 białych i 3 czarne
2) 2 białe i 8 czarnych
3) 4 białe i 6 czarnych
4) 8 białych i 2 czarne

I losuję z każdego kosza po jednej kuli - chciałbym obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania:

a) minimum dwóch białych kul
b) dokładnie dwóch białych kul
Dziękuję za więcej danych ;)

To jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul białych z 1 i 2 kosza? Masz rację, że nie można pominąć koszy 3 i 4. Co w nich musi być?
patryk922
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 11 sie 2022, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 1 raz

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: patryk922 »

To tak jak wyżej:

1 i 2 - 14%
1 i 3 - 28%
1 i 4 - 56%
2 i 3 - 8%
2 i 4 - 16%
3 i 4 - 32%

Z tym, że nie czuję, aby coś mi to dało - chyba, że wylosowanie dokładnie dwóch byłoby jakąś średnią wszystkich możliwych kombinacji? Jestem w totalnej kropce co do rozwiązania punktów a) i b).

Poza tym zależy mi też na dojściu do formuły, dzięki której mógłbym wyliczać prawdopodobieństwo przy 10, czy 20 takich "koszach".
Awatar użytkownika
Matematykini
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 sie 2022, o 09:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 2 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: Matematykini »

Właśnie nie są takie prawdopodobieństwa. Wtedy w pozostałych dwóch koszach mogłoby być cokolwiek, a mają być kule czarne (bo białe mają być dokładnie 2).

Zacznę bardziej formalnie :)

Niech nasze zdarzenie "mamy dokładnie 2 białe kule" to będzie \(\displaystyle{ X}\)

Faktycznie jest tu taka jakby średnia ważona, a bierze się to z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

czyli mamy
$$P(X) = P(X|AB)\cdot P(AB) + \ldots + P(X|CD)\cdot P(CD)$$

Każde \(\displaystyle{ P(AB), \ldots P(CD)}\) jest takie samo i wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

Obliczę przykładowo \(\displaystyle{ P(X|AB)}\). Prawdopodobieństwo, że wylosujemy białą w A to 0,7, że białą w B to 0,2, że czarną w C to 0,6 i czarną w D to 0,2 i dopiero to wszystko wymnażamy.

I podobnie z resztą przypadków.

Czy coś jeszcze lepiej wyjaśnić?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw

Post autor: janusz47 »

Doświadczenie losowe polega na losowaniu po kolei z każdego kosza: \(\displaystyle{ k1, k2 , k3 , k4 }\) jednej kuli.

Zakładamy, że losowanie kuli z każdego kosza jest jednakowo możliwe.

\(\displaystyle{ k_{1}: }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{k1} = \{ b, c\}, \ \ P_{k1}(b) = \frac{7}{10}, \ \ P_{k1}(c)= \frac{3}{10},}\)

\(\displaystyle{ k_{2}: }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{k2} = \{ b, c\}, \ \ P_{k2}(b) = \frac{2}{10}, \ \ P_{k2}(c)= \frac{8}{10},}\)

\(\displaystyle{ k_{3}: }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{k3} = \{ b, c\}, \ \ P_{k3}(b) = \frac{4}{10}, \ \ P_{k3}(c)= \frac{6}{10},}\)

\(\displaystyle{ k_{4}: }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{k4} = \{ b, c\}, \ \ P_{k4}(b) = \frac{8}{10}, \ \ P_{k4}(c)= \frac{2}{10}.}\)


Model łącznego losowania kul z czterech koszy:

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{k1}\times \Omega_{k2} \times \Omega_{k3}\times \Omega_{k4}.}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = (k1,k2,k3,k4): k_{i}\in \{b, c\}, i =1,2,3,4 \} }\)

a)
Zdarzenie " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych \(\displaystyle{ \{ \geq 2b\}" }\) składa się z sumy trzech zdarzeń: "wylosowanie dokładnie dwóch, lub trzech lub czterech kul białych.

\(\displaystyle{ P(\{\geq 2b\}) = P(\{2b\}) + P(\{3b\}) + P(\{4b\}).}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P(\{2b\}) = P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c) + P_{k1}(b)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) + }\)

\(\displaystyle{ + P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(c)\cdot P_{k4}(b) +P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(b)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(c)+P_{k1}(c)\cdot P_{k2}(c)\cdot P_{k3}(b)\cdot P_{k4}(b). }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{2b\}) = \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10} + \frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10} +\frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10} + \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{6}{10}\cdot \frac{8}{10}+}\)
\(\displaystyle{ +\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{8}{10} =
\frac{168}{10000} + \frac{448}{10000}+ \frac{2728}{10000}+ \frac{288}{10000}+ \frac{48}{10000}+\frac{768}{10000} =\frac{4488}{10000}=0,4488 }\)


Podobnie obliczamy wartości pozostałych prawdopodobieństw \(\displaystyle{ P(\{3b\}), \ \ P(\{4b\}).}\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia " wylosowanie co najmniej dwóch kul białych" możemy zastąpić obliczeniem prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego " wylosowania czterech kul czarnych lub dokładnie jednej kuli białej".

Interpretujemy w sposób częstościowy obliczone wartości prawdopodobieństw:

Na przykład należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 45\% }\) ogólnej liczby wyników losowania po jednej kuli z czterech koszy, otrzymamy dokładnie dwie kule białe.

"Prawdopodobieństwo zdarzeń różnych prawdopodobieństw" to masło maślane.

Prawdopodobieństwo różnych zdarzeń.
ODPOWIEDZ