Kombinacja - zadanie

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
hutsalo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 141
Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 59 razy

Kombinacja - zadanie

Post autor: hutsalo »

Zadanie jest z kombinacji i może się wydawać łatwe dopóki nie spojrzy się na rozwiązanie. To jest treść tego zadania:
Z pudła, w którym jest 5 par butów, dziecko wyciąga dwa buty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że są one z jednej pary?
A to rozwiązanie i nie wiem dlaczego akurat takie:
\(\displaystyle{
\frac{5}{ C^{2}_{10} } = \frac{5}{\frac{10!}{2!(5-2)!}} = \frac{5}{\frac{10!}{2!\cdot8!}} = \frac{5}{\frac{8\cdot9\cdot10}{2!\cdot8}} = \frac{5}{\frac{90}{2}} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}
}\)

|A| = 5, A - wylosowanie pary butów
A nie jest to rozwiązane w ten sposób:
\(\displaystyle{
C^{2}_{5} = { 5\choose 2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!\cdot3!} = \frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3} = \frac{20}{2} = 10
}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo »

Pierwszy but możesz wyciągnąć dowolnie. Za to przy drugim masz już tylko jedną szansę na dziewięć, że trafisz ten właściwy.

Dodano po 4 minutach 59 sekundach:
Albo tak:
dwa buty możesz wybrać na \(\displaystyle{ \binom{10}{2}=45}\) sposobów, z czego tylko `5` jest zadowalających. Tak czy owak wychodzi `1/9`.
To jest właśnie ten wzorcowy sposób, tyle że zabrakło opisu.

Swoją drogą uwielbiam rozwiązania zadań z prawdopodobieństwa lub kombinatoryki, gdzie spryciarze piszą jakiś wzorek bez słowa uzasadnienia.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 »

Doświadczenie losowe polega na losowym wyciągnięciu dwóch butów z pudła zawierającego pięć par obuwia.

\(\displaystyle{ L = \{ L_{1}, L_{1}, L_{3}, L_{4}, L_{5} \} }\)- zbiór butów na lewą nogę.

\(\displaystyle{ P=\{ P_{1}, P_{1}, P_{3}, P_{4}, P_{5} \} }\)- zbiór butów na prawą nogę.

\(\displaystyle{ (L_{k}, P_{k}) , \ \ k =1,2,3,4,5 }\) - para butów.

Rozważmy zdarzenie przeciwne - " wśród wybranych \(\displaystyle{ 2 }\) butów nie ma ani jednej pary".

Możliwe zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu przeciwnemu:

\(\displaystyle{ 0 }\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ L }\) i \(\displaystyle{ 2 }\) buty ze zbioru \(\displaystyle{ P, }\)

takich układów jest \(\displaystyle{ {5\choose 0}\cdot {5\choose 2}, }\)

\(\displaystyle{ 1 }\) but ze zbioru \(\displaystyle{ L }\) i \(\displaystyle{ 1 }\) but ze zbioru \(\displaystyle{ P }\) z wyłączeniem buta od pary z \(\displaystyle{ P,}\)

takich układów jest \(\displaystyle{ {5\choose 1}\cdot {4\choose 1}, }\)

\(\displaystyle{ 2 }\) buty ze zbioru \(\displaystyle{ L }\) i \(\displaystyle{ 0 }\) butów ze zbioru \(\displaystyle{ P, }\)

takich układów jest \(\displaystyle{ {5\choose 2}\cdot {5\choose 0}. }\)

Stąd szukana wartość prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ P = 1-\overline{P} = 1 - \frac{{5\choose 0}\cdot {5\choose 2}+ {5\choose 1}\cdot {4\choose 1} +{5\choose 2}\cdot {5\choose 0}}{{10\choose 2}} = \ ... }\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

--------------------------------------------

Dodano po 18 minutach 36 sekundach:
Dla pełności przedstawionego modelu losowania dwóch butów, brakuje zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych i jego liczności.

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega=f: \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \rightarrow \{1,2\} \wedge i>j \wedge i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10 \} }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = {10 \choose 2}.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo »

I wychodzi `P=16/45` - trochę więcej niż `1/3` co pozostaje w jawnej sprzeczności z logiką i pozostałymi rozwiązaniami. Ale oprawa cacy.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

a4karo pisze: 1 sie 2022, o 22:03 I wychodzi `P=16/45` - trochę więcej niż `1/3` co pozostaje w jawnej sprzeczności z logiką i pozostałymi rozwiązaniami. Ale oprawa cacy.
Wynik wychodzi taki sam: \(1-\frac{10+20+10}{45}=\frac19\). Ale faktycznie jest to dość pokrętny sposób, jak na takie zadanie. No i tu jest też linijka całkiem nie pasująca do reszty rozwiązania:
janusz47 pisze: 1 sie 2022, o 19:50 \(\displaystyle{ \Omega = \{\omega=f: \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \rightarrow \{1,2\} \wedge i>j \wedge i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10 \} }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo »

Przepraszam za błąd rachunkowy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 »

Rozwiązując zadania z rachunku prawdopodobieństwa, powinniśmy zwrócić uwagę na:

- opis doświadczenia losowego, które modelujemy;

- określenie zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) wszystkich zdarzeń elementarrnych;

- określenie klasy \(\displaystyle{ \mathcal{M} }\) wszystkich zdarzeń probabilizowalnych;

- określenie rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)

Uporządkowaną trójkę: \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{M}, P) }\) nazywamy modelem probabilistycznym (matematycznym) doświadczenia
losowego.

Powróćmy do doświadczenia losowego polegającego na" wyjmowaniu z pudełka dwóch butów, w którym jest pięć par butów.

Załóżmy, że dziecko wyjmuje jednocześnie dwa buty.

Mamy doczynienia z jednoetapowym doświadczeniem losowym?

Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) w tym doświadczeniu możemy określać w różny sposób np:

\(\displaystyle{ \Omega =\{\omega: \omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i}, P_{j} \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}, P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}, \ \ L_{ i} \neq P_{j}, \ \ i>j \ \ i, j \in \{1,2,3,4,5\} \} }\)

lub

\(\displaystyle{ \Omega =\{\omega: \omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\, \ \ f(i)> f(j) ,\ \ i>j,\ \ i, j \in \{1,2\}\} }\)

Liczność tego zbioru

\(\displaystyle{ |\Omega| = C_{10}^{2} = {10 \choose 2}.}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{M} = 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym. Są to wszystkie zdarzenia probabilizowalne (zdarzenia, którym można przypisać prawdopodobieństwo).

Załóżmy, że każdy z butów ma taką samą możliwość wyciągnięcia z pudełka (nie ma butów uprzywilejowanych),
tzn. rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\) jest równomiernym rozkładem dyskretnym.

\(\displaystyle{ P(\{L_{i},P_{j}\}) = \frac{1}{{10\choose 2}}.}\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie -"buty pochodzą z jednej pary"

\(\displaystyle{ A = \{\omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} , P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}, \ \ L_{ 1} =P_{1}, \ \ L_{2}=P_{2},\ \ L{3}=P_{3}, \ \ L_{4}=P_{4},\ \ L_{5}=P_{5}\} }\)

lub

\(\displaystyle{ A = \{\omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}: \ \ f(1) = f(6),\ \ f(2)= f(7), \ \ f(3)=f(8),\ \ f(4)=f(9),\ \ f(5)= f(10) \} }\)

\(\displaystyle{ |A| =C_{ 5}^{1} = {5\choose1}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(A) =\frac{|A|}{|\Omega|}. }\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{5\choose 1}}{{10\choose 2}} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}. }\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

Możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 11,1\% }\) ogólnej lczby losowań dwóch butów z pudełka zawierającego pięć par butów - otrzymamy dokładnie jedną parę.

Rozwiązanie za pomocą zdarzenia przeciwnego.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \overline{A} }\) zdarzenie przeciwne " buty nie są od pary"

Wówczas

\(\displaystyle{ \overline{A} = \{\omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} , P(j) \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} \vee L_{i}, P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\} \vee \ \ L_{ i} \in\{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} \wedge P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\} \wedge L_{j}\neq P_{j}\} }\)

lub

\(\displaystyle{ \overline{A} = \{\omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}: \ \ f(1),f(2)\in\{1,2,3,4,5\} \vee f(1), f(2)\in \{6,7,8,9,10\} \vee f(1)\in \{1,2,3,4,5\} \wedge f(2)\in \{6,7,8,9,10\} \wedge f(1)\neq f(2) \} }\)

\(\displaystyle{ |\overline{A}| = {5\choose 2} + {5\choose 2} + {5\choose1}\cdot {4\choose 1} = 10 + 10 + 20 = 40.}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A}) = \frac{|\overline{A}|}{|\Omega|}.}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{A}) = \frac{40}{45}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - P(\overline{A}) }\)

\(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{40}{45}= \frac{5}{45} = \frac{1}{9}.}\)

Interpretujemy otrzymaną wartość prawdopodobieństwa.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Czasem słowny opis jest lepszy niż symboliczny.
janusz47 pisze: 2 sie 2022, o 20:45 \(\displaystyle{ A = \{\omega = \{ \{L_{i}, P_{j}\} : L_{i} \in \{L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}, L _{5}\} , P_{j}\in \{P_{1}, P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}, \ \ L_{ 1} =P_{1}, \ \ L_{2}=P_{2},\ \ L{3}=P_{3}, \ \ L_{4}=P_{4},\ \ L_{5}=P_{5}\} }\)
Co ma oznaczać równość \(L_{ 1} =P_{1}\) i po co została ona tam dodana?
janusz47 pisze: 2 sie 2022, o 20:45 \(\displaystyle{ A = \{\omega = f: \{1,2\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}: \ \ f(1) = f(6),\ \ f(2)= f(7), \ \ f(3)=f(8),\ \ f(4)=f(9),\ \ f(5)= f(10) \} }\)
Co oznacza \(f(6)\), kiedy \(6\) nie należy do dziedziny funkcji \(f\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 »

Zamiast znaków = powinny występować być znaki ( ; ) jako oznaczenie pary butów.

Dzięki za zwrócenie uwagi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: a4karo »

Co dalej nie tłumaczy czym jest `f(6)`
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 »

W drugim opisie zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) mamy pary: \(\displaystyle{ (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10). }\)
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Myślę że chodzi o coś takiego:
\(\displaystyle{ A = \{f\in\Omega:\,f(1) \equiv f(2) \pmod5 \} }\)
Do mnie opis słowny dużo lepiej przemawia.

Nawiasem mówiąc, jeśli nic się nie zmieniło w kryteriach oceniania matury w ciągu ostatnich lat, to na maturze nie trzeba definiować przestrzeni probabilistycznej ani symbolicznie, ani słownie. Wystarczy tylko podać/obliczyć liczbę elementów tej przestrzeni. Można więc dostać maksimum punktów za „rozwiązanie” bez żadnego wyjaśnienia. Dla mnie to dość patologiczna sytuacja, ale podobno nie można wymagać za wiele, żeby nie dyskryminować tych, którzy nie umieją napisać zdania po polsku.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: janusz47 »

Na maturze, żeby otrzymać pełną liczbę punktów za zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, musimy zdefiniować zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) ,
interesujące nas zdarzenie ( zdarzenia) [ oraz obliczyć wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P. }\)
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 4 sie 2022, o 12:51 Na maturze, żeby otrzymać pełną liczbę punktów za zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, musimy zdefiniować zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) ,
Zrobiłeś mi nadzieję, więc nawet zajrzałem do zasad oceniania z ostatniej matury. Niestety, niewiele się zmieniło.
Zdający otrzymuje 1 pkt gdy:
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: \(\displaystyle{ |\Omega| = 9 ⋅ 9}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Kombinacja - zadanie

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 4 sie 2022, o 12:51 Na maturze, żeby otrzymać pełną liczbę punktów za zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, musimy zdefiniować zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) ,
interesujące nas zdarzenie ( zdarzenia) [ oraz obliczyć wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P. }\)
Oj, nie, zdecydowanie nie (co piszę jako egzaminator maturalny).

JK
ODPOWIEDZ