Wartość oczekiwana

[densekoszi]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X=NY}\). Zmienna \(\displaystyle{ Y}\) jest ciągła i taka, że \(\displaystyle{ F_Y(x)=0}\), \(\displaystyle{ \mathbb{P}(N=0)=1-p, \mathbb{P}(N=1)=p}\). Tak więc \(\displaystyle{ X=0}\), gdy \(\displaystyle{ N=0}\) oraz \(\displaystyle{ X=Y}\), gdy \(\displaystyle{ N=1}\). Wartość oczekiwana \(\displaystyle{ X}\) dana jest wzorem

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(X|N=0)\mathbb{P}(N=0)+\mathbb{E}(X|N=1)\mathbb{P}(N=1)=\mathbb{E}(Y)p}\)

Nie rozumiem tego wzoru. Przypomina mi wartość oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej, jednak nie wiem, skąd wzięły się warunkowe wartości oczekiwane. Proszę o wytłumaczenie krok po kroku powstanie tego wzoru.

[3a174ad9764fefcb]

Przypomina mi wartość oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej, jednak nie wiem, skąd wzięły się warunkowe wartości oczekiwane. Proszę o wytłumaczenie krok po kroku powstanie tego wzoru.

To przez analogię zobaczmy, że we wzorze ze zmiennymi dyskretnymi też się pojawiają warunkowe wartości oczekiwane. Niech \(X\) i \(Y\) będą zmiennymi dyskretnymi. Wtedy
\[\mathbb{E}f(X, Y)=\sum_i\sum_jf(x_i, y_j)\mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j)=\sum_i\sum_jf(x_i, y_j)\mathbb{P}(X=x_i)\mathbb{P}(Y=y_j|X=x_i)=\ldots\]
Dalej \(\mathbb{P}(X=x_i)\) wyłączamy przed wewnętrzną sumę i ta wewnętrzna suma zamienia się na warunkową wartość oczekiwaną.