Splot dystrybuant

[densekoszi]

Potrzebuję znaleźć splot dystrybuant zmiennych niezależnych.

\(\displaystyle{ F_1(x)=\begin{cases} 0, \qquad \qquad \quad x<0 \\ 0,8+0,1x, \quad x\in [0,1) \\ 1, \qquad \quad \qquad x \ge 1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ F_2(x)=\begin{cases} 0, \qquad \quad \qquad x<0 \\ 0,7+0,2x, \quad x\in [0,1) \\ 1, \qquad \quad \qquad x \ge 1 \end{cases} }\)

Punkty nieciągłości drugiej dystrybuanty to 0 i 1, więc wzór \(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} F_1 (w-x) d F_2 (x)}\) należy rozdzielić na trzy części i tu pojawia się mój pierwszy problem.

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} F_1 (w-x) d F_2 (x)=\int_{- \infty}^{0} F_1 (w-x) 0dx + \int_{0}^{1} F_1 (w-x) 0,2dx + \int_{1}^{\infty} F_1 (w-x) 0dx}\)

Podejrzewam, że jest tu pewien błąd spowodowany mnożeniem przez 0 w pierwszej i trzeciej całce. Jak to poprawić?

[3a174ad9764fefcb]

Nie, z tymi zerami akurat nie ma problemu. Te składniki po prostu nic nie wnoszą. Natomiast w wyniku trzeba uwzględnić jeszcze te punkty nieciągłości, o których wspomniałaś. Zwróć uwagę, że jeśli chcesz obliczyć na przykład prawdopodobieństwo \(P(X_1+X_2\le0{,}5)\), to w wyniku znajdzie się też składnik \(P(X_1=0, X_2=0) = 0{,}8\cdot0{,}7\).

[densekoszi]

W takim razie skoro całkuję po dystrybuancie \(\displaystyle{ X_2}\), to mam uwzględnić tylko takie pary \(\displaystyle{ \left( X_1, X_2\right) }\), w których \(\displaystyle{ X_2}\) jest równe 0 lub 1?

[3a174ad9764fefcb]

Ta zmienna \(X_2\) ma zarówno część dyskretną w punktach \(0\) i \(1\), jak i ciągłą na przedziale \((0,1)\). Wszystko trzeba uwzględnić.

[janusz47]

W teorii prawdopodobieństwa obliczamy raczej splot gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych.

[densekoszi]

Czyli suma trzech całek załatwia sprawę części ciągłej tej zmiennej \(\displaystyle{ X_2}\). Żeby uwzględnić jeszcze część dyskretną muszę wziąć pod uwagę dystrybuantę \(\displaystyle{ X_1}\) i prawdopodobieństwa osiągania dyskretnych wartości przez drugą zmienną, więc cały wzór będzie wyglądał tak?

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} F_1 (w-x) d F_2 (x)=\\=
\int_{- \infty}^{0} F_1 (w-x) 0dx + F_{X_1}(w-0)\mathbb{P}(X_2=0) + \int_{0}^{1} F_1 (w-x) 0,2dx +F_{X_1}(w-1)\mathbb{P}(X_2=1)+ \int_{1}^{\infty} F_1 (w-x) 0dx}\)

[3a174ad9764fefcb]

Dla mnie OK, ale janusz47 ma rację w kwestiach nazewniczych.

[densekoszi]

Czyli suma trzech całek załatwia sprawę części ciągłej tej zmiennej \(\displaystyle{ X_2}\). Żeby uwzględnić jeszcze część dyskretną muszę wziąć pod uwagę dystrybuantę \(\displaystyle{ X_1}\) i prawdopodobieństwa osiągania dyskretnych wartości przez drugą zmienną, więc cały wzór będzie wyglądał tak?

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{\infty} F_1 (w-x) d F_2 (x)=\\=
\int_{- \infty}^{0} F_1 (w-x) 0dx + F_{X_1}(w-0)\mathbb{P}(X_2=0) + \int_{0}^{1} F_1 (w-x) 0,2dx +F_{X_1}(w-1)\mathbb{P}(X_2=1)+ \int_{1}^{\infty} F_1 (w-x) 0dx}\)

A dlaczego w punktach skoku mnożymy dystrybuantę przez prawdopodobieństwo? Przyznam, że zrobiłam to tak "na czuja".

[3a174ad9764fefcb]

Ostatecznie chcemy obliczyć prawdopodobieństwo \(\mathbb{P}(X_1+X_2\le w)\). Narysuj w układzie współrzędnych prostą \(x_1+x_2=w\). Ta prosta wyznacza obszar, który nas interesuje. Ten obszar dzielimy na poszczególne części:

• \(x_2<0, x_1\le w-x_2\),
• \(x_2=0, x_1\le w-x_2\),
• \(0<x_2<1, x_1\le w-x_2\),
• \(x_2=1, x_1\le w-x_2\),
• \(x_2>1, x_1\le w-x_2\),

Dla drugiej części mamy \(\mathbb{P}(X_2=0, X_1\le w-0) = \mathbb{P}(X_2=0) \cdot\mathbb{P}(X_1\le w-0) =\ldots\)