Trzy zadania z prawdopodobieństwa - gdzie robię błędy ?

[loitzl9006]

Pokażcie mi gdzie robię błędy w tych zadaniach i czy mam poprawne końcowe wyniki:

Zad. 1
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(2;1)}\). Oblicz:
a) \(\displaystyle{ P(-1<X<5)}\)
b) \(\displaystyle{ P(|X-2|\ge3)}\). Wyjaśnij kolejne etapy dojścia do wyniku.

Zad. 2
Dzienne zużycie paliwa w litrach przez samochód ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(5;55)}\). Bak o pojemności \(\displaystyle{ 10}\) litrów jest tankowany codziennie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym dniu bak samochodu będzie tankowany powtórnie ?

Zad. 3
W urnie jest \(\displaystyle{ 8}\) kul białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych. Rzucamy dwa razy monetą. Jeśli wyrzuciliśmy dwie reszki, to z tej urny losujemy dwie kule. Jeżeli wyrzuciliśmy orła i reszkę, to z tej urny losujemy trzy kule, a w innym przypadku z urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucono dwie reszki, jeżeli wiadomo, że wśród wylosowanych kul nie było kuli czarnej.

Rozw.

Zad.1
\(\displaystyle{ N(2;1)}\) czyli \(\displaystyle{ \overline{x}=2, \ \sigma=1}\)
a) \(\displaystyle{ P(-1<X<5) = ?}\)
\(\displaystyle{ P(-1<X<5) = P(X<5)-P(X<-1)\\ X_1=5, \ X_2=-1\\ Z_1=\frac{X_1-\overline{x}}{\sigma}=\frac{5-2}1=3}\)
Dla \(\displaystyle{ Z_1=3}\) prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,99865}\) zatem \(\displaystyle{ P(X<5)=0,99865}\)
\(\displaystyle{ Z_2=\frac{X_2-\overline{x}}{\sigma}=\frac{-1-2}1=-3}\)
Dla \(\displaystyle{ Z_2=-3}\) prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 1-0,99865=0,00135}\), zatem \(\displaystyle{ P(X<-1)=0,00135}\), oznacza to że
\(\displaystyle{ P(-1<X<5) = 0,99865-0,00135=0,9973}\)
b) \(\displaystyle{ P(|X-2|\ge3) = ?\\ |X-2|\ge3\\ X-2\ge3 \ \ lub \ \ X-2\le-3\\ X\ge5 \ \ \ \ \ lub\ \ X\le-1 \\ P(|X-2|\ge3)=1-P(-1<X<5) \\ P(-1<X<5)=0,9973\\ P(|X-2|\ge3)=1-0,9973=0,0027}\)

Zad. 2
\(\displaystyle{ N(5;55)}\) czyli \(\displaystyle{ \overline{x}=5, \ \sigma=55}\)
\(\displaystyle{ P(X \ge10)=?\\ P(X\ge10) = 1-P(X<10)\\ X=10\\ Z=\frac{X-\overline{x}}{\sigma}=\frac{10-5}{55}=\frac1{11}\approx0,09}\)
Dla \(\displaystyle{ Z=0,09}\) prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,53586}\), zatem \(\displaystyle{ P(X<10)=0,53586}\)
\(\displaystyle{ P(X\ge10)=1-0,53586=0,46414}\)
Odp. Szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,46414}\)

Zad. 3
\(\displaystyle{ P=\frac{\frac14\cdot\frac{ {8 \choose 2} }{{13 \choose 2}}}{\frac14\cdot\frac{ {8 \choose 2} }{{13 \choose 2}}+\frac12\cdot\frac{ {8 \choose 3} }{{13 \choose 3}}+\frac14\cdot\frac8{13}}=\frac{77}{293}}\)

[janusz47]

Zadanie 1

\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(2,1)}\)

a)
\(\displaystyle{ \ Pr(\{-1<X<5\}) = Pr \left( \left \{ \frac{-1-2}{1}< Z< \frac{5-2}{1}\right\} \right) = \Pr(\{-3 < Z < 3\}) = \phi(3)-\phi(-3) = \phi(3)-1+\phi(3)=}\)

\(\displaystyle{ = 2\phi(3) -1 \approx 0,9973.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

2*pnorm(3)-1
[1] 0.9973002

b)
\(\displaystyle{ \Pr(\{|X-2|\geq 3\}) = Pr( \{X-2 \leq -3\} \cup \{X-2 \geq 3\}) =\Pr(\{X\leq -1\} ) + \Pr(\{X\geq 5\}) = 1 -\phi(1)+1 -\phi(5) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 -\phi(1)-\phi(5)\approx 0,15865}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> 2-pnorm(1)-pnorm(5)
[1] 0.1586555

Zadanie 2

\(\displaystyle{ Y \sim\mathcal{N}(5,55) }\)

\(\displaystyle{ \Pr(\{Y >10\}) = \Pr\left( \left\{ Z >\frac{10-5}{55} \right\}\right) = \Pr\left( \left\{ Z > \frac{1}{11} \right\}\right)\approx 1-\ Pr( \{Z\leq 0,0909 \})\approx 0,4638. }\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> 1-pnorm(0.0909)
[1] 0.463786

Zadanie 3.

Doświadczenie losowe opisane w treści zadania jest dwuetapowe polega na:

- rzucie dwiema symetrycznymi monetami - etap pierwszy
-- w zależności od trzech różnych wyników rzutu:

\(\displaystyle{ \{RR\} , \{OR\}, \{ RR\} }\) - losowaniu z urny zawierającej osiem kul białych i pięć kul czarnych - odpowiednio dwie, trzy lub jedną kulę - etap drugi

Nie będziemy budować całego modelu tego złożonego doświadczenia losowego, skupiając się na obliczeniu prawdopodobieństwa warunkowego "a priori," "a posteriori" wynikającego ze wzoru Bayesa.

\(\displaystyle{ \Pr[\{OO\}|\{bb\} \cup \{bbb\} \cup \{b\}] = \frac{\Pr(\{OO\} \cap [\{bb\}\cup \{bbb\} \cup\{b\}])}{\Pr(\{bb\}\cup \{bbb\}\cup\{b\})}= \frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{{8\choose 2}}{{13 \choose 2}}}{\frac{1}{4}\cdot\frac{ {8 \choose 2}}{{13 \choose 2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{{8 \choose 3}}{{13 \choose 3}}+\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{13}}=\frac{77}{293} \approx 0,262799}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 a = choose(8,2)
> a
[1] 28
> b=choose(13,2)
> b
[1] 78
> A= (1/4)*a/b
> A
[1] 0.08974359
> c = choose(8,3)
> c
[1] 56
> d= choose(13,3)
> d
[1] 286
> B=(1/2)*c/d
> B
[1] 0.0979021
> e = (1/4)*(8/13)
> e
[1] 0.1538462
> C=(1/4)*(8/13)
> C
[1] 0.1538462
> P= A/(A +B +C)
> P
[1] 0.2627986 

> 77/293
[1] 0.2627986

Interpretacja otrzymanego wyniku

Wykonując rzuty dwiema monetami, a potem losując odowiednią ilość kul z urny, należy oczekiwać, że jeżeli nie wylosowliśmy kuli czarnej, to w około \(\displaystyle{ 26\% }\) ogólnej liczby wyników otrzymaliśmy dwie reszki.

[loitzl9006]

Dziękuję za odpowiedź, a mam jeszcze pytanie co do tego zad. 1b)
Czy na pewno poprawna jest taka równość \(\displaystyle{ Pr({ X\le-1})=1-\phi(1)}\) bez wcześniejszej standaryzacji zmiennej \(\displaystyle{ X}\) do standaryzowanej zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) ? Bo przecież zmienna \(\displaystyle{ X}\) nie ma parametrów \(\displaystyle{ N(0;1)}\) tylko \(\displaystyle{ N(2;1)}\)

[janusz47]

Tak, potrzebna jest standaryzacja, o której zapomniałem.

Dodano po 1 dniu 5 godzinach 43 minutach 6 sekundach:
\(\displaystyle{ \Pr(\{|X-2|\geq 3\}) = \Pr( \{X-2 \leq -3\} \cup \{X-2 \geq 3\}) =\Pr(\{X\leq -1\} ) + \Pr(\{X\geq 5\}) = }\)

\(\displaystyle{ = \Pr\left( \left\{ Z\leq \frac{-1-2}{1} \right \}\right) + \Pr\left(\left \{ Z\geq \frac{5-2}{1}\right \}\right) = \Pr(\{Z \leq -3\}) + \Pr(\{Z \geq 3\}) = \phi(-3)+1-\phi(3)= }\)

\(\displaystyle{ = 1-\phi(3) +1-\phi(3) = 2 -2\cdot \phi(3) \approx 0,0027. }\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> 2-2*pnorm(3)
[1] 0.002699796