Losowanie ze zbioru liczb

[retset123]

Zadanie:
Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,…,2n-1,2n\right\} }\) dwukrotnie ze zwracaniem po jednej liczbie. Oblicz Prawdopodobienstwo tego, ze iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez druga jest liczba z przedzialu \(\displaystyle{ (1;2> }\)

Mam problem z obliczenidm zbioru A. Omege latwo obliczyc, rowna sie ona \(\displaystyle{ 4n ^{2} }\).

Jak podejsc do obliczenia A? Widze ze liczba \(\displaystyle{ \frac{l}{m} }\) musi spelniac \(\displaystyle{ m<l \le 2m}\), ale dalej nie wiem. \(\displaystyle{ l}\) to pierwsza liczba, a \(\displaystyle{ m}\) to druga.

[Dasio11]

Do obliczenia jest liczba par \(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających \(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie \(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest \(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest

\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)

i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

[Papabile]

Załóżmy, że w pierwszym losowaniu wylosowaliśmy liczbę \(\displaystyle{ k}\). Teraz pytanie ile jest takich liczb \(\displaystyle{ m}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\), spełniających \(\displaystyle{ \frac{k}{m} \in \left[1,2 \right) }\). Jak już na to odpowiemy starczy wysumować po \(\displaystyle{ k}\) przebiegającym od 1 do \(\displaystyle{ 2n}\).

[retset123]

Do obliczenia jest liczba par \(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających \(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie \(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest \(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest

\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)

i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Dziekuje za szybka odpowiedz.

Rozumiem ta ostatnia sume. Wychodzi\(\displaystyle{ n ^{2} }\), lecz nie rozumiem skad sie wzielo to \(\displaystyle{ 2n-m}\). Dlaczego jest tyle par?

Oraz jesli \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to dlaczego mozemy wybrac dla l \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\)? Czasami to prawda bo np. \(\displaystyle{ \frac{5}{4} }\) i\(\displaystyle{ \frac{5}{3} }\) mieszcza sie w przedziale, ale \(\displaystyle{ \frac{5}{2} }\) juz nie. Znaczy nie dla kazdego m \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) bedzie mozna wybrac wszystkie l z \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\), tylko niektore. Nie moge np dla\(\displaystyle{ m=1}\) wybrac \(\displaystyle{ l=m+8}\). Im wieksze m lub l tym wiecej par bedzie. Ale nie zawsze wszystkie z wszystkimi. Dlaczego/jak ta koniecznosc zostaje uwzgledniona tymi wzorami?

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 18 sekundach:

Do obliczenia jest liczba par \(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających \(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie \(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest \(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest

\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)

i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Ok czyba zeozumialem, ale czego jeszcze nie rozumiem to czemu rozdzielamy zbior na \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) i \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\)? Czemu nie liczymy za pierwszym razem od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2n}\)?

[Dasio11]

Ok, spróbuję to napisać inaczej. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi, to do przedziału \(\displaystyle{ (a, b]}\) należy dokładnie \(\displaystyle{ b-a}\) liczb całkowitych (mianowicie: \(\displaystyle{ a+1, a+2, \ldots, b}\)). Weźmy teraz dowolną liczbę \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}}\). Wtedy para \(\displaystyle{ (m, l)}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\) dla dokładnie takich \(\displaystyle{ l \in \NN}\), które spełniają układ nierówności

\(\displaystyle{ \begin{cases} m < l \le 2m \\ 1 \le l \le 2n \end{cases}}\)

Jeśli więc \(\displaystyle{ m \le n}\), to układ sprowadza się do nierówności \(\displaystyle{ m < l \le 2m}\), czyli spełniają go liczby całkowite \(\displaystyle{ l \in (m, 2m]}\). Zgodnie z powyższym, takich liczb jest \(\displaystyle{ 2m-m = m}\).

Jeśli zaś \(\displaystyle{ m > n}\), to układ jest równoważny \(\displaystyle{ m < l \le 2n}\), czyli jego rozwiązania to liczby całkowite w przedziale \(\displaystyle{ (m, 2n]}\) i jest ich \(\displaystyle{ 2n-m}\).


Mogę jeszcze zasugerować, byś narysował sobie kwadrat \(\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, 2n \}}\) i zaznaczył w nim proste \(\displaystyle{ y = x}\) i \(\displaystyle{ y = 2x}\). Do zbioru \(\displaystyle{ A}\) należą te punkty kwadratu, które leżą pomiędzy prostymi, może to coś rozjaśni.

Odnośnie dopisku:

czemu rozdzielamy zbior na \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) i \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\)? Czemu nie liczymy za pierwszym razem od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2n}\)?

Dla \(\displaystyle{ m \in [1, n]}\) liczba interesujących nas par zadaje się innym wzorem niż dla \(\displaystyle{ m \in [n+1, 2n]}\), zatem nie ma sensownego sposobu żeby zapisać te liczby pod jedną sumą.

[retset123]

Dziekuje za taka dobra i szczegolowa odpowiedz! To bylo jedyne zadanie ktorego nie umialem zrobic ale juz zrozumialem. Nie wiem czemu sie z tym tak trudzilem. Dziekuje:)