W urnie są \(\displaystyle{ 3}\) kule białe, \(\displaystyle{ 2}\) kule czarne i \(\displaystyle{ 2}\) kule zielone. Losujemy z wymianą i niezależnie, jedna piłka po drugiej, aż dostaniemy zieloną piłkę. Znajdź oczekiwaną liczbę uzyskanych czarnych kulek.
\(\displaystyle{ X_{k} }\) -kolor kuli wylosowanej w k-tej rundzie
\(\displaystyle{ τ = inf \left\{ n \ge 1 : X_{n}= zielone\right\} }\)
oblicz: \(\displaystyle{ E \sum_{k=1}^{ τ } 1 X_{k} = czarne}\)
Wartość oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wartość oczekiwana
"Losowanie z wymianą", to znaczy, że ze zwracaniem, tak?
Pewnie dałoby się to wyliczyć wprost, ale jeśli znasz pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej, bardzo wygodnie jest tutaj zwarunkować sobie to wszystko ze względu na \(\displaystyle{ \tau}\), tzn
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E} \left (\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau \right) \right) = \ldots}\).
A ten rozkład warunkowy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau}\) albo nawet \(\displaystyle{ 1_{X_k = C} \ \Big\vert \ \tau}\), bardzo łatwo wyliczyć.
Dodano po 20 godzinach 3 minutach 15 sekundach:
Tak sobie jeszcze pomyślałem, że można od razu użyć tożsamości Walda, wtedy to wychodzi w jedną linijkę.
Pewnie dałoby się to wyliczyć wprost, ale jeśli znasz pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej, bardzo wygodnie jest tutaj zwarunkować sobie to wszystko ze względu na \(\displaystyle{ \tau}\), tzn
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E} \left (\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau \right) \right) = \ldots}\).
A ten rozkład warunkowy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau}\) albo nawet \(\displaystyle{ 1_{X_k = C} \ \Big\vert \ \tau}\), bardzo łatwo wyliczyć.
Dodano po 20 godzinach 3 minutach 15 sekundach:
Tak sobie jeszcze pomyślałem, że można od razu użyć tożsamości Walda, wtedy to wychodzi w jedną linijkę.