Wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Karka20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 24 lis 2021, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 8 razy

Wartość oczekiwana

Post autor: Karka20 »

W urnie są \(\displaystyle{ 3}\) kule białe, \(\displaystyle{ 2}\) kule czarne i \(\displaystyle{ 2}\) kule zielone. Losujemy z wymianą i niezależnie, jedna piłka po drugiej, aż dostaniemy zieloną piłkę. Znajdź oczekiwaną liczbę uzyskanych czarnych kulek.

\(\displaystyle{ X_{k} }\) -kolor kuli wylosowanej w k-tej rundzie
\(\displaystyle{ τ = inf \left\{ n \ge 1 : X_{n}= zielone\right\} }\)

oblicz: \(\displaystyle{ E \sum_{k=1}^{ τ } 1 X_{k} = czarne}\)
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wartość oczekiwana

Post autor: Tmkk »

"Losowanie z wymianą", to znaczy, że ze zwracaniem, tak?

Pewnie dałoby się to wyliczyć wprost, ale jeśli znasz pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej, bardzo wygodnie jest tutaj zwarunkować sobie to wszystko ze względu na \(\displaystyle{ \tau}\), tzn

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E} \left (\sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau \right) \right) = \ldots}\).

A ten rozkład warunkowy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\tau 1_{X_k = C} \ \Bigg\vert \ \tau}\) albo nawet \(\displaystyle{ 1_{X_k = C} \ \Big\vert \ \tau}\), bardzo łatwo wyliczyć.

Dodano po 20 godzinach 3 minutach 15 sekundach:
Tak sobie jeszcze pomyślałem, że można od razu użyć tożsamości Walda, wtedy to wychodzi w jedną linijkę.
ODPOWIEDZ