Matematyka.pl

Gracz ma \(\displaystyle{ 20zł}\), a na powrót do domu potrzebuje \(\displaystyle{ 40zł}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ 40zł }\) stawiając po złotówce na czerwone-czarne aż do chwili zdobycia \(\displaystyle{ 40zł}\) ?
Szansa na wygraną w pojedynczej kolejce wynosi \(\displaystyle{ \frac{18}{38} }\).

To dość standardowe zadanie na tak zwane "zagadnienie ruiny gracza" związane z łańcuchami Markowa (bo interesuje nas tylko to, ile mamy pieniędzy w danej chwili, przeszłość nie gra roli). Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ p_k}\) - prawdopodobieństwo uzyskania \(\displaystyle{ 40}\)zł, jesli gracz startuje z \(\displaystyle{ k}\) zł. Oczywiście nas interesuje \(\displaystyle{ k=20}\).

Teraz nietrudno stwierdzić, że \(\displaystyle{ p_0 = 0}\), bo gracz nie ma już za co grać, z kolei \(\displaystyle{ p_{40} = 1}\). Dla pozostałych \(\displaystyle{ k}\) mamy następującą równość \(\displaystyle{ p_{k} = \frac{18}{38}p_{k+1} + \frac{20}{38}p_{k-1}}\), bo albo wygrywamy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{18}{38}}\) i mamy złotówkę więcej, albo przegrywamy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{20}{38}}\) i mamy o złotówkę mniej. To się nietrudno rozwiązuje, ale już obliczenia zostawię.