Funkcja generująca kumulanty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
densekoszi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 24 cze 2022, o 19:39
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 1 raz

Funkcja generująca kumulanty

Post autor: densekoszi »

Mam problem z funkcją generującą kumulanty. W pewniej książce spotkałam się z takimi równościami:
\(\displaystyle{ K_X(t)=K_Z(K_Y(t))\\
K'_X(t)=K'_Z(K_Y(t)) \cdot K'_Y(t) \\
\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Z) \cdot \mathbb{E}(Y)}\)


Zastanawia mnie, skąd w ostatnim wzorze wzięła się wartość oczekiwana zmiennej Z, skoro
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)=K'_X(0)=K'_Z(K_Y(0)) \cdot K'_Y(0)=K'_Z(1) \cdot \mathbb{E}(Y)}\).

Czy to prawda, że pochodna kumulanty zmiennej Z w 1 jest tym samym, czym byłaby w 0?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Funkcja generująca kumulanty

Post autor: janusz47 »

To jest nieprawda. Pochodna kumulanty, to pochodna logarytmu naturalnego (pochodna logarytmiczna) funkcji generującej (tworzącej). Jej wartość w zerze to wartość przeciętna (oczekiwana) \(\displaystyle{ E(X).}\) Ta wartość nie równa się wartości w jedynce względem innej zmiennej na przykład \(\displaystyle{ z.}\)
ODPOWIEDZ