Dystrybuanta ciągła

[Niepokonana]

Dzień dobry, proszę o pomoc z zadaniem, bo może i jest nie za trudne, ale chciałabym się upewnić, że dobrze rozumiem.
Mamy daną dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0&\text{dla }x<0 \\ \frac{x^{2}}{2} &\text{dla }x\in[0;1) \\ \frac{-x^{2}}{2}+2x-1 &\text{dla }x\in [1;2) \\1 &\text{dla }x \ge2 \end{cases} }\)

Trzeba policzyć funkcję gęstości, to wystarczy zrobić pochodną z dystrybuanty, co nie? A jak z tego policzyć \(\displaystyle{ EX}\), \(\displaystyle{ EX^{2}}\), \(\displaystyle{ VarX}\) (to się domyślam, że jak się ma dwa poprzednie, to to się łatwo da policzyć) i kwantyl \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?

[janusz47]

Tak.

Aby znaleźć gęstość \(\displaystyle{ f(x) }\) wystararczy znaleźć pochodną w każdym przedziale określoności dystrybuanty \(\displaystyle{ F(x). }\)

Aby otrzymać wartość średnią (oczekiwaną) \(\displaystyle{ E(X) }\) obliczamy sumę całek z iloczynu \(\displaystyle{ x\cdot f(x) }\) z każdego przedziału

gęstości.

Aby obliczyć drugi moment zwykły \(\displaystyle{ E(X^2) }\) obliczamy sumę całek z iloczynu \(\displaystyle{ x^2 \cdot f(x) }\) z każdego przedziału

gęstości.

Wariancję możemy obliczyć dwoma sposobami:

- jako różnicę \(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 }\) (te wartości mamy już obliczone - wystarczy znaleźć ich różnicę),

- jako sumę całek z \(\displaystyle{ [x- E(X) ]^2 \cdot f(x) }\) z każdego przedziału gęstości.

kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \ \ q_{1/4} }\) obliczamy z równania całkowego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{q_{1/4}} f(x)dx= \frac{1}{4}.}\)

[Niepokonana]

Dzięki przyszedłeś w samą porę tuż przed kolokwium