Kule A, B, C, zwracanie, szansa na co najmniej jedną A i B

[Genshin]

Dzień dobry.
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

W urnie znajdują się trzy rodzaje kul: A, B, C.
Szansa na wyciągnięcie kul: A = P(A), B = P(B), C = P(C).
Losujemy X razy po jednej kuli ze zwracaniem.

Jaka jest szansa na to, że wśród wylosowanych kul znajdzie się co najmniej jedna kula A oraz co najmniej jedna kula B?

[mol_ksiazkowy]

mozna obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego...

[Genshin]

mozna obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego...

Dziękuję za zainteresowanie.

Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego również jest dla mnie skomplikowane.
Rozumiem, że trzeba obliczyć szansę na to, że podczas wszystkich X losowań nie trafi się ani kula A, ani kula B. Takim przypadkiem byłoby losowanie samych kul C. Jednak po odjęciu tego prawdopodobieństwa od 1, końcowa wartość prawdopodobieństwa nie uwzględni np. przypadku, że były losowane same kule A.

Zupełnie nie wiem, jak się za to zabrać.

[janusz47]

Czyli nie będzie ani jednej kuli \(\displaystyle{ A }\) lub ani jednej kuli \(\displaystyle{ B, }\) czyli będą same kule \(\displaystyle{ C. }\)

[a4karo]

Może na coś się przyda wzór analogiczny do wzoru dwumiennego Newtona

\(\displaystyle{ 1=(P(A)+P(B)+P(C))^X=\sum_{a+b+c=X}\binom{X}{a\ b\ c}P(A)^aP(B)^bP(C)^c}\),
gdzie \(\displaystyle{ \binom{X}{a\ b\ c}=\frac{X!}{a!b!c!}}\)

[Genshin]

Czyli nie będzie ani jednej kuli \(\displaystyle{ A }\) lub ani jednej kuli \(\displaystyle{ B, }\) czyli będą same kule \(\displaystyle{ C. }\)

Jeśli w zdarzeniu przeciwnym będą tylko kule C, to w zdarzeniu właściwym musiałyby być kule różne od C, czyli mogłyby być np. same kule A, a potrzebujemy co najmniej jednej kuli A oraz co najmniej jednej kuli B.

Może na coś się przyda wzór analogiczny do wzoru dwumiennego Newtona

\(\displaystyle{ 1=(P(A)+P(B)+P(C))^X=\sum_{a+b+c=X}\binom{X}{a\ b\ c}P(A)^aP(B)^bP(C)^c}\),
gdzie \(\displaystyle{ \binom{X}{a\ b\ c}=\frac{X!}{a!b!c!}}\)

Nie jestem w stanie ocenić, czy można go tu zastosować.

[a4karo]

Wyraz z `a, b, c` oznacza prawdopodobieństwo wylosowania `a` razy `A`, `b` razy `B` i `c` razy `C`

Dodano po 1 dniu 7 godzinach 5 minutach 10 sekundach:
Niech `NoA` oznacza zdarzenie "w `X` próbach nie wylosowano żadnej kuli `A`", `NoB` oznacza zdarzenie "w `X` próbach nie wylosowano żadnej kuli `B`", a `TylkoC` oznacza zdarzenie "w `X` próbach losowano wyłacznie kule `C`"
Jesteśmy zainteresowani obliczeniem
`P(NoA'\cap NoB')=P(NoA')+P(NoB')-P(NoA'\cup NoB')`
Ale
\(\displaystyle{ P(NoA)=(1-P(A))^X}\)
\(\displaystyle{ P(NoB)=(1-P(B))^X}\)
\(\displaystyle{ P(NoA'\cup NoB')=1-P(TylkoC)=1-P(C)^X}\)

Zatem prawdopodobieństwo, że wylosujemy przynajmniej jedną kule `A` i przynajmniej jedną kulę `B` wynosi
`1-(1-P(A))^X-(1-P(B))^X+P(C)^X=1-(1-P(A))^X-(1-P(B))^X+(1-P(A)-P(B))^X`

A teraz się okazuje, że ten wzorek wcale nie jest potrzebny, (chociaż zauważyłem to dopiero po wyliczeniu `P(NoA)` przy jego użyciu ) .

[Genshin]

Bardzo dziękuję za rozwiązanie problemu.