Uzyskanie X punktów przed końcem gry

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Pachanga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 cze 2020, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Uzyskanie X punktów przed końcem gry

Post autor: Pachanga »

Hej, autorskie zadanie można powiedzieć :P

Rzucamy kostką do gry i jeżeli:
1. Wypadnie 1-2 dostajemy punkt.
2. Wypadnie 3-4 nic się nie dzieje.
3. Wypadnie 5-6 tracimy życie.
4. Utrata trzeciego życia oznacza koniec gry.

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 4 punktów przed końcem gry?

Zastanawiam się czy da się jakoś prościej niż rozpatrzyć 3 scenariusze, tzn.
1. (4 wygrane, 0 porażek, k remisów)
2. (4 wygrane, 1 porażka, k remisów)
3. (4 wygrane, 2 porażki, k remisów)

Dla np. 1)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^{4} + \frac{ {4 \choose 1} }{3 ^{5} } + \frac{ {5 \choose 2} }{3 ^{6} } + \frac{ {6 \choose 3} }{3 ^{7} }+...= \sum_{ k=0 }^{ \infty } \frac{ {k+3 \choose k} }{3 ^{k+4} }}\)

Czyli trochę pracy, żeby to wyliczyć. Jakiś prostszy sposób widzicie?
Papabile
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 gru 2018, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: Uzyskanie X punktów przed końcem gry

Post autor: Papabile »

Łańcuch markowa można rozrysować ze stanami (0Ż,0P), (1Ż,0P), (2Ż,0P),(3Ż,0P), (0Ż,1P), (1Ż,1P), (2Ż,1P),(3Ż,1P), (0Ż,2P), (1Ż,2P), (2Ż,2P),(3Ż,2P), ... I prawdopodobieństwa przejść między odpowiednimi stanami to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\) do odpowiednich i \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\) na zostanie w miejscu. Punkt (0Ż,0P) a punktami końcowymi są te gdzie mamy 4P lub 3Ż i stamtąd już mamy prawdopodobieństwo jeden na zostanie w tym stanie. I dalej już z klasycznego łańcucha Markowa wylicza się szanse dojścia do konkretnych stanów zanim dojdziemy do innych przez układ \(\displaystyle{ 4 \cdot 5=20}\) równań liniowych.
A te szeregi też się nie liczą źle bo ten symbol newtona rozwija się do wielomianu 3 stopnia więc rozbijamy na 3 sumy postaci wielomian podzielić na funkcję wykładniczą i to też się ładnie liczy.
ODPOWIEDZ