Zmienna losowa ciągła - wartość średnia i wariancja

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Zmienna losowa ciągła - wartość średnia i wariancja

Post autor: bartekw2213 »

Ciągła zmienna losowa ma rozkład wykładniczo-potęgowy dany zależnością \(\displaystyle{ p(x) = \frac{x^m}{m!}e^{-x}}\). Obliczyć jej wartość średnią i wariancję.
Ostatnio zmieniony 6 maja 2022, o 14:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka w temacie.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Zmienna losowa ciągła - wartość średnia i wariancja

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{\infty} x\cdot p(x) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{m+1}}{m!} e^{-x} dx }\)

Wsk. Wykorzystanie funkcji \(\displaystyle{ \Gamma(x). }\)

\(\displaystyle{ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 .}\)
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Re: Zmienna losowa ciągła - wartość średnia i wariancja

Post autor: bartekw2213 »

janusz47 pisze: 6 maja 2022, o 13:41
Wsk. Wykorzystanie funkcji \(\displaystyle{ \Gamma(x). }\)
Tą właśnie funkcję widziałem w internetowych kalkulatorach całek - co to jest, jak się to nazywa?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Zmienna losowa ciągła - wartość średnia i wariancja

Post autor: janusz47 »

Jest to funkcja Gamma-Eulera określona wzorem:

\(\displaystyle{ \Gamma(m) = \int_{0}^{\infty} x^{m-1}e^{-x}dx, \ \ m\in(0, \infty). }\)
ODPOWIEDZ