Rozkład prawdopodobieństwa

[bartekw2213]

Działo artyleryjskie obraca się i strzela w przypadkowo wybranych momentach czasu do nieskończenie długiej ściany (odległej od armaty o \(\displaystyle{ R}\)) raz w ciągu jednego obrotu. Jaki jest rozkład trafień do ściany przy założeniu, że każdy strzał trafia?

[janusz47]

W artylerii przyjmuje się kołowy rozkład normalny pocisków dany funkcją gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{- \frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}.}\)

Oznaczając przez \(\displaystyle{ \mathbf{r} }\) odległość upadku pocisków od działa, możemy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ \mathbf{r} }\) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\), uwzględniając współrzędne biegunowe.

\(\displaystyle{ P( 0 \leq \mathbf{r} \leq R) = \int_{0}^{R} dr \int_{0}^{2\pi} r\frac{1}{2\pi \sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}d\phi = \int_{0}^{R} \frac{1}{\sigma^2}r e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} dr. }\)

Stąd wynika, że zmienna losowa \(\displaystyle{ \mathbf{r} }\) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości

\(\displaystyle{ \phi(r) = \begin{cases} \frac{1}{\sigma^2}r e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq r \leq R,\\ 0 \ \ \text{dla} \ \ r<0.\end{cases} }\)

Jeśli działo wykonuje jeden wystrzał w czasie jednego obrotu, to prawdopodobieństwo trafienia w mur za każdym razem wynosi

\(\displaystyle{ P(0< \mathbf{r}< \sigma) = \frac{1}{\sigma^2}\int_{0}^{\sigma} re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr = -e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\mid_{0}^{\sigma}= 1-e^{-\frac{1}{2}}. }\)

[a4karo]

A jak powyższe ma się do treści zadania?

Dodano po 7 godzinach 11 minutach 1 sekundzie:
Jeżeli działo jest w punkcie `(0,0)` a mur to prosta `y=r`, to odpowiedz sobie na takie pytanie: jaki kąt musi tworzyć lufa działa z osią `OX` aby pocisk trafił w odcinek `(x,r),(x+dx,r)`?

Dodano po 1 minucie 59 sekundach:

W artylerii przyjmuje się kołowy rozkład normalny pocisków dany funkcją gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{- \frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}.}\)

Czy stąd nie wynika przypadkiem, że pocisk z największym prawdopodobieństwem uderzy w działo, z którego został wystrzelony?