Funkcja deterministyczna zmiennej losowej ciągłej

[bartekw2213]

Wiadomo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład:
\(\displaystyle{ p_x(x) = \frac{3}{64}x^2,\quad x \in (0, 4)}\)
\(\displaystyle{ p_x(x) = 0,\quad \quad x \not\in (0, 4)}\)

Wiadomo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = \sqrt{X}}\), znajdź rozkład \(\displaystyle{ p_y(y)}\)

Rozwiązałem to w następujący sposób:

1. \(\displaystyle{ y = g(x) = \sqrt{x} \Rightarrow x = g^{-1}(y) = \frac{8 \sqrt{3}y }{3} }\)

2. \(\displaystyle{ p_y(y) = p_x(g^{-1}(y))\left| \frac{dg^{-1}(y)}{dy} \right| = \frac{3}{64}\left( \frac{8 \sqrt{3}y }{3}\right) ^2 \cdot \frac{8 \sqrt{3} }{3} = 8 \sqrt{3}y^2 }\)

Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ p_y(y) = \frac{3}{32}y^5 }\)

Gdzie popełniłem błąd?

[Dasio11]

Skoro \(\displaystyle{ g(x) = \sqrt{x}}\), to \(\displaystyle{ g^{-1}(y) = y^2}\).