Oblicz prawdopodobieństwo

[max123321]

Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,40\right\} }\) losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których iloczyn przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).

No i jak to zrobić? Nie wiem za bardzo jak to ugryźć. Wiem ile jest iloczynów podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\), ale nie wiem ile jest iloczynów dających resztę \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Będę wdzięczny za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Iloczyn dwóch liczb daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) dokładnie wtedy, gdy oba jego składniki dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) lub gdy oba jego składniki dają resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).

JK

[max123321]

Ok, ale skąd to wiesz, że tak będzie w tych przypadkach i tylko tych?

No dobra, ale to już mając tą wiedzę to to jest proste bo to prawdopodobieństwo będzie równe:
\(\displaystyle{ \frac{ {14 \choose 2}+ {13 \choose 2} }{ {40 \choose 2} }= \frac{13}{60} }\)
Czy tak jest dobrze?

[Jan Kraszewski]

Ok, ale skąd to wiesz, że tak będzie w tych przypadkach i tylko tych?

Rozpatrzenie iloczynów postaci \(\displaystyle{ (3k+i)(3k+j)}\), gdzie \(\displaystyle{ i,j\in\{0,1,2\}}\) (a \(\displaystyle{ k,l\in\NN}\)) nie zajmuje dużo czasu...

JK