Rozkład jednostajny na R

[Papabile]

Zastanawiam się czy da się zdefiniować rozkład jednostajny na wszystkich liczbach rzeczywistych? To znaczy że prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby rzeczywistej jest takie samo i jakby taki obiekt wyglądał. Jego funkcja gęstości musiałaby być ciągła na \(\displaystyle{ \RR}\). A skoro ma gęstość więc prawdopodobieństwo pojedynczej wartości wynosi zero, więc funkcja gęstości to \(\displaystyle{ g(x)=0}\) no ale nie całkuje nam się to po całej przestrzeni do 1. Dalej idą jakby rozpatrywać rodzinę rozkładów jednostajnych na przedziałach \(\displaystyle{ \left[ -n,n\right] }\) i patrzeć do czego zbiegają według rozkładu to chyba najłatwiej zrobić to ze zbieżności dystrybuant. Mamy zatem \(\displaystyle{ F_{n}(t)= \frac{t-n}{-n-n}= \frac{n-t}{2n} }\) i ciąg dystrybuant zbiega do \(\displaystyle{ g(t)=\frac{1}{2} }\) no ale to dystrybuanta nie jest więc rodzina nie jest zbieżna (chyba, pewny tej implikacji nie jestem. Wiem że jak ciąg dystrybuant zbiega do jakiejś dystrybuanty to cała rodzina jest zbieżna według rozkładu ale nie wiem czy jest to warunek w obie strony). Ale nawet jeśli jest to warunek w dwie strony to rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ \RR}\) nie musi być wcale granicą takich rozkładów, można zawsze rozpatrywać granice rozkładów jednostajnych np na \(\displaystyle{ \left[ -\ln(n),n^{2}\right] }\) i też przedział zbiega nam do całego \(\displaystyle{ \RR}\). I tu mój dylemat czy da się jakoś taki obiekt zdefiniować albo pokazać że nie istnieje?

[Dasio11]

To znaczy że prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby rzeczywistej jest takie samo

Jeśli to jest dla Ciebie definicja rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ \RR}\), to spełnia ją każdy rozkład ciągły: rozkład normalny, rozkład wykładniczy etc., dla których prawdopodobieństwo wylosowania ustalonej liczby zawsze wynosi zero.