W książce od psychologii znalazłem wzór zwany regułą Bayesa, dzięki któremu jesteśmy w stanie obliczyć prawdopodobieństwo obecności wirusa HIV wśród zbioru osób mający dodatni wynik testu. Wzór widoczny jest w załączniku, ale dla czytelności przepiszę go poniżej (pomijając fakt, że oznaczenia w książce są niespójne np. czym różni się HIV od HIV+):
\(\displaystyle{
P(HIV+/test+) = \frac{P(HIV+) \cdot P(test+|HIV+)}{P(test+|HIV-) \cdot P(test+/HIV+)}
}\)
Na pierwszy rzut oka już coś w tym wzorze mi się nie zgadzało - ponieważ można skrócić mianownik i licznik przez \(\displaystyle{ P(test+/HIV+) }\) i wtedy można dojść do wniosku, że skuteczność testu dla pozytywnego wyniku nie ma żadnego znaczenia, co z intuicji wydaje się błędne.
Wygooglowałem zatem twierdzenie Bayesa i na
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Bayesa\(\displaystyle{
P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B|A)\cdot P(A) + P(B|A')\cdot P(A')}
}\)
oraz przykład 2, bardzo podobny do przykładu z książki.
Dane z treści:
\(\displaystyle{
P(HIV+/test+)=0.99 \\
P(HIV+)=0.0015 \\
P(test+|HIV-)=0.10 \\
P(HIV-)=1-P(HIV+)=0.9985
}\)
Podstawiając do wzoru (B2) otrzymujemy:
\(\displaystyle{
P(HIV+/test+) = \frac{P(test+/HIV+) \cdot P(HIV+)}{P(test+/HIV+) \cdot P(HIV+) + P(test+/HIV-) \cdot P(HIV-)} = \\
\frac{0.99 \cdot 0.0015}{0.99 \cdot 0.0015 + 0.10 \cdot 0.09985} \approx 0.01465
}\)
Zatem wynik z książki jest zaokrąglony (podany jest 0.15).
W tym momencie jestem skołowany, bo jestem bardziej skłonny uwierzyć w to, że popełniłem jakiś błąd w rozumowaniu, niż w to, że autor książki bardzo uprościł twierdzenie Bayesa, dzięki czemu można dojść do błędnych wniosków.
Czy jest ktoś w stanie potwierdzić/obalić moją hipotezę?
