Definicja zmiennej losowej ciągłej oraz równoważność pojęć

[Ekar12]

Kilka pytań:
1. Jak to jest z wyrażeniami typu zmienna losowa ma rozkład ciągły, zmienna losowa ciągła, zmienna ma dystrybuantę typu ciągłego. Chodzi mi przykładowo o taką definicję:
Dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x)}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi}\) jest typu ciągłego, jeśli \(\displaystyle{ F(x)}\) jest ciągła jako funkcja zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
To jeśli dystrybuanta jest typu ciągłego to mogę mówić, że zmienna ma rozkład ciągły, albo że \(\displaystyle{ \xi}\) jest zmienną losową ciągłą?

2. Przyjmując, że definiujemy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) jako odwzorowanie z przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega}\) w liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) spełniającą warunek:
\(\displaystyle{ \{\omega: X(\omega) < x\} \in \mathcal{F}}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), natomiast \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\), a zmienną losową nazywamy typu dyskretnego jeśli dla skończonego zbioru \(\displaystyle{ S}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ p_i=P(\xi=x_i)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x_i\in S}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i=1}\)
Pary \(\displaystyle{ {x_i,p_i}}\) nazywamy rozkładem zmiennej \(\displaystyle{ \xi}\).
Biorąc pod uwagę powyższe oznaczenia, jaka jest formalna definicja zmiennej losowej typu ciągłego oraz jej rozkładu?

[janusz47]

Zmienną losową \(\displaystyle{ X }\) nazywamy ciągłą z gęstością \(\displaystyle{ f_{X}:\RR \rightarrow [0, \infty ), }\) jeśli

\(\displaystyle{ P_{X} ((a, b]))= \int_{a}^{b}f_{X}(x) dx }\), dla każdego \(\displaystyle{ a, b \in \RR. }\)

Innymi słowy \(\displaystyle{ P_{X} }\) jest ciągłą miarą probabilistyczną na \(\displaystyle{ \RR }\) z gęstością \(\displaystyle{ f_{X}.}\)

Probabilistyczną miarę \(\displaystyle{ P }\) na podzbiorach borelowskich \(\displaystyle{ A \subset \mathcal{B} }\) prostej \(\displaystyle{ \RR }\) nazywamy ciągłą, jeśli istnieje gęstość \(\displaystyle{ f }\) taka, że

\(\displaystyle{ P(A) = \int_{A} f dm.}\)

Stąd wynika, że dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej, jako funkcja

\(\displaystyle{ F_{X}: \RR \rightarrow \RR, \ \ F_{X} = P_{X}((-\infty,x]) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR }\) jest funkcją ciągłą.

[Ekar12]

Rozkładem zmiennej losowej ciągłej \(\displaystyle{ X}\) nazywa się miarę \(\displaystyle{ P_X}\)?

[janusz47]

Tak. Dla każdej ciągłej zmiennej losowej dystrybuanta jest funkcją ciągłą.

Dystrybuantę można wyrazić przez funkcję gęstości.

\(\displaystyle{ F_{X}(y) = P_{X}((-\infty, y]) = \lim_{n\to \infty}P((-n, y]) = \lim_{n\to \infty}\int_{-n}^{y}f_{X}dx = \int_{-\infty}^{y} f_{X}dx }\)

Stąd wynika, że funkcja \(\displaystyle{ y \rightarrow \int_{-\infty}^{y} f_{X}dx }\) jest fukcją ciągłą.

[Dasio11]

To jeśli dystrybuanta jest typu ciągłego to mogę mówić, że zmienna ma rozkład ciągły, albo że \(\displaystyle{ \xi}\) jest zmienną losową ciągłą?

Nie. Wyrażenia "zmienna losowa jest ciągła" i "zmienna losowa ma rozkład ciągły" są synonimami. Odnośnie trzeciego z pojęć, zachodzi tylko implikacja: ciągła zmienna losowa zawsze ma ciągłą dystrybuantę, ale nie każda zmienna losowa mająca ciągłą dystrybuantę jest ciągła.

[Ekar12]

Dzięki, teraz rozumiem. Po prostu wiele źródeł żongluje tymi pojęciami, niektórych nie definiuje, u różnych autorów nazywa się to inaczej, że ciężko się połapać.