Istnienie wartości oczekiwanej

[Zuzu62]

Mam udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ E(X)}\), wiedziąc, że istnieje \(\displaystyle{ E(X^2)}\). Czy poprawny jest dowód polegający na tym, że rozpisuję
\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{ \infty } t \cdot f _{X^2}(t) dt = ... = \frac{1}{2} (\int_{- \infty}^{ \infty } \sqrt{t} \cdot f _{X}( \sqrt{t} ) dt - \int_{- \infty}^{ \infty } - \sqrt{t} \cdot f _{X}(- \sqrt{t} ) dt ) }\)
i z tego, że te dwie całki po prawej muszą istnieć wnioskuję, że istnieje też \(\displaystyle{ E(X)}\)?

[a4karo]

A czemu te całki po prawej mają istnieć?
Spróbuj nierówności Cauchy'ego

[Zuzu62]

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ |E(X)|^2 \le E(X^2)}\), więc \(\displaystyle{ |E(X)| \le E(X^2)}\) i z tego mamy istnienie \(\displaystyle{ E(X)}\)?

[a4karo]

Tak

[Zuzu62]

Ok, a mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć, dlaczego \(\displaystyle{ E(XY)=\left\langle X,Y\right\rangle }\)? (bo wyczytałam, że w ten sposób otrzymujemy \(\displaystyle{ |E(XY)|^2 \le E(X^2) \cdot E(Y^2)}\) z nierówności Cauchy'ego, ale nigdzie nie znalazłam, skąd się wzięło to przejście)

[a4karo]

A co to jest \(\displaystyle{ \left\langle X,Y\right\rangle}\)?

[Zuzu62]

Jeśli dobrze rozumiem to iloczyn skalarny tych zmiennych. Ale jeśli istnieje lepsze wytłumaczenie to chętnie się dowiem

[janusz47]

Aby sprawdzić nierówność Cauchy-Schwarza dla wartości oczekiwanych:

\(\displaystyle{ |E(XY)|^2 \le E(X^2)\cdot E(Y^2) }\) rozpatrujemy funkcję kwadratową

\(\displaystyle{ f(t) = E[ (tX - Y)^2] = ... , \ \ t\in \RR. }\)

Ile co najwyżej rzeczywistych pierwiastków może mieć funkcja \(\displaystyle{ f(t) ?}\)

W związku z tym jaką wartość ma przyjmować jej wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta? }\)

[a4karo]

Jeśli dobrze rozumiem to iloczyn skalarny tych zmiennych. Ale jeśli istnieje lepsze wytłumaczenie to chętnie się dowiem

Fajnie. A możesz powiedzieć jakim wzorem wyraża sie ten iloczyn skalarny?

[Zuzu62]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)g(x)dx}\). A \(\displaystyle{ E(X) = \int_{}^{} x \cdot f(x) dx}\). Tylko co z tym iksem? No i funkcja gęstości \(\displaystyle{ X^2}\) to przecież nie jest \(\displaystyle{ (f_{X}(x))^2}\)?

[a4karo]

Wzorki sobie chyba wybierasz losowo. Pytam co to jest \(\displaystyle{ \left\langle X,Y\right\rangle}\), a Ty wypisujesz jakieś `f,g`

[Zuzu62]

W takim razie \(\displaystyle{ \int_{R}^{} X(t) \cdot Y(t) dt}\). A wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E(XY)= \int_{R}^{} \int_{R}^{} x \cdot f_{X}(x) \cdot y \cdot f_{Y}(y) dx dy }\). Tu mamy jedną całkę, a tam dwie. Chyba dalej nie widzę związku...

[a4karo]

Zmienne losowe nie są określone na `\RR`, tylko na przestrzeni probabilistycznej.
`E(X)=\int X(\omega)dP`. I wtedy `E(XY)=\int X(\omega)Y(\omega) dP=\langle X,Y\rangle`.
Teraz wystarczy sprawdzić, że operator \(\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle}\) spełnia warunki stawiane iloczynowi skalarnemu.