zadanie z kulami

[VanHezz]

Na pewnej maturze pojawiło się takie zadanie:

W urnie znajduje się \(\displaystyle{ 20}\) kul: \(\displaystyle{ 9}\) białych, \(\displaystyle{ 9}\) czerwonych i \(\displaystyle{ 2}\) zielone. Z tej urny losujemy bez zwracania 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.

Moc zbioru liczę tak \(\displaystyle{ |\Omega|={20 \choose 3}= 1140 }\)

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie wylosowania trzech kul, z których przynajmniej dwie są tego samego koloru
\(\displaystyle{ A'}\) - zdarzenie przeciwne, czyli polegające na wylosowaniu trzech kul różniących się między sobą kolorami.

\(\displaystyle{ |A'|= {9\choose 1} {9 \choose 1} {2 \choose 1} \frac{1}{3!} }\) Dzielę przez \(\displaystyle{ 3!}\), bo kolejność kul nie ma znaczenia.

I dalej wyliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ A}\).

Jedyny mój błąd polega na tym, że dzielę, moc zbioru \(\displaystyle{ A'}\) przez \(\displaystyle{ 3!}\). W odpowiedziach tego nie zrobili. Dlaczego?

Przecież licząc moc zbioru wszystkich zdarzeń liczę \(\displaystyle{ {20 \choose 3}= 1140 }\) lub tak \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \frac{1}{3!} = 1140}\). Tu też można powiedzieć, dzielę przez \(\displaystyle{ 3!}\) żeby zniwelować uwzględnioną kolejność kul.

Dlaczego zatem w tym przypadku przy liczeniu mocy zbioru \(\displaystyle{ A'}\) tego się nie robi?

[Jan Kraszewski]

Dlaczego zatem w tym przypadku przy liczeniu mocy zbioru \(\displaystyle{ A'}\) tego się nie robi?

Bo licząc \(\displaystyle{ |A'|= {9\choose 1} {9 \choose 1} {2 \choose 1} }\) nie bierzesz pod uwagę kolejności.

JK

[VanHezz]

Dlatego, że w tym przypadku mnożę liczbę elementów każdego podzbioru, a w przypadku omegi wykorzystuję elementy jednego 20-elementowego zbioru?

[Jan Kraszewski]

W ogólnym wypadku też nie uwzględniasz kolejności, co obrazuje zapis \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= {20 \choose 3} }\).

JK

[VanHezz]

Tak. Miałem na myśli, że przy omedze liczę \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\), czyli wykorzystuję wszystkiego elementy zbioru, więc dzielę jeszcze przez \(\displaystyle{ 6}\), czyli \(\displaystyle{ |\Omega|= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} }\)

A przy \(\displaystyle{ A'}\) wymnażam ilości elementów w każdym podzbiorze omegi, czyli \(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 2}\).

Nie wiem tylko dlaczego w tym drugim przypadku wymnażanie nie powoduje narzucenia kolejności i nie musimy dzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\), a przy omedze mnożąc \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\) narzuca się kolejność i trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\)

[Jan Kraszewski]

Nie wiem tylko dlaczego w tym drugim przypadku wymnażanie nie powoduje narzucenia kolejności i nie musimy dzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\), a przy omedze mnożąc \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\) narzuca się kolejność i trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\)

No właśnie nie narzucasz kolejności, bo dzielisz przez \(\displaystyle{ 3!}\). Zapis \(\displaystyle{ {20 \choose 3} }\) jednoznacznie na to wskazuje.

Nie możesz mieszać modeli: albo zarówno dla \(\displaystyle{ \Omega}\), jak i dla \(\displaystyle{ A'}\) nie uwzględniasz kolejności, albo dla obu uwzględniasz. W tym drugim wypadku dla \(\displaystyle{ \Omega}\) masz \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\), czyli wariacje bez powtórzeń (kolejność istotna, najpierw wybierasz pierwszą kulę, potem drugą i na końcu trzecią). Gdybyś w tym samym modelu chciał liczyć \(\displaystyle{ \left| A'\right| }\), to musiałbyś \(\displaystyle{ {9\choose 1} \cdot {9 \choose 1} \cdot {2 \choose 1}}\) pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3!}\), żeby uwzględnić, w jakiej kolejności występują kolory. Wtedy miałbyś

\(\displaystyle{ P(A')= \frac{{9\choose 1} \cdot {9 \choose 1} \cdot {2 \choose 1}\cdot 3!}{20 \cdot 19 \cdot 18} }\)

czyli tak samo.

JK

[janusz47]

Jak napisał Pan Jan Kraszewski nie uwwzględniamy kolejności losowanych kul - wkładamy rękę do urny i mieszając lub nie mieszając wyciągamy trzy kule (kolejność wylosowanych w ten sposób kul nie jest uwzględniona).

Zbiór wszystkich możliwych wyników naszego jednoczesnego - jednoetapowego doświadczenia \(\displaystyle{ \Omega }\) zawiera tyle elementów - zdarzeń elementarnych, ile jest kombinacji trzyelementowych bez powtórzeń ze zbioru dwudziestoelementowego tj.

\(\displaystyle{ C_{20}^{3}= {20\choose 3} = \frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2 \cdot 1}.}\)

Dzielenie przez \(\displaystyle{ 6 }\) jak słusznie zauważyłeś wynika z tego, że kolejności wylosowanych kul jest nieistotna.

Obliczając liczność zdarzenia \(\displaystyle{ |A'| }\) też dzielimy przez \(\displaystyle{ 1\cdot 1 \cdot 1,}\) bo wybieramy po jednej kuli każdego z trzech kolorów.

Zbuduj model kolejnego losowania trzech kul z tej urny.
1.
Losuję kulę pierwszą i odkładam na bok.
2.
Losuję kulę drugą i odkładam na bok.
3.
Losuję kulę trzecią i odkładam na bok.

Wtedy liczność zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) jak zauważysz będzie równa liczbie trójelementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru dwudziestoelementowego tj.

\(\displaystyle{ |\Omega| = V_{20}^{3} = 20\cdot 19 \cdot 18. }\) Wtedy nie dzielimy przez \(\displaystyle{ 6 }\) bo kolejność losowanych kul jest istotna.

[VanHezz]

Nie wiem tylko dlaczego w tym drugim przypadku wymnażanie nie powoduje narzucenia kolejności i nie musimy dzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\), a przy omedze mnożąc \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\) narzuca się kolejność i trzeba podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\)

No właśnie nie narzucasz kolejności, bo dzielisz przez \(\displaystyle{ 3!}\). Zapis \(\displaystyle{ {20 \choose 3} }\) jednoznacznie na to wskazuje.

Dokładnie to napisałem. Licząc omegę tak: \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\) - narzucam kolejność. Dlatego jeśli nie chcę narzucać kolejności to dzielę przez \(\displaystyle{ 3!}\), co jest jednoznaczne z \(\displaystyle{ {20 \choose 3}}\).

Obliczając liczność zdarzenia \(\displaystyle{ |A'| }\) też dzielimy przez \(\displaystyle{ 1\cdot 1 \cdot 1,}\) bo wybieramy po jednej kuli każdego z trzech kolorów.

Teraz już trochę jaśniej. Czyli róznica wynika stąd, że przy omedze losujemy z jednej puli, a przy zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\) już rozpatrujemy 3 zbiory różnokolorowe. Doczytałem jeszcze w podręczniku teorię, to coś zaczęło świtać... Jak ja nie znoszę tego prawdopodobieństwa


Dzięki obu panom.

[janusz47]

Co to znaczy " jak ja nie znoszę tego prawdopodobieństwa." Każdy dział matematyki fizyki i innych przedmiotów można znieść jak się stara zrozumieć i w końcu zrozumie.

Zaczynając rozwązywanie zadania z rachunku prawdopodbieństwa zadaj sobie pytanie " z jakim doświadczeniem losowym mamy doczynienia w treści zadania? Na czym polega doświadczenie losowe opisane w treści zadania?

Potem postaraj się dla określonego doświadczenia losowego opisać zbiór wszystkich możliwych jego wyników- zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega }\)

Określ liczność tego zbioru. Przypisz zdarzeniom elementarnym ich prawdopodobieństwa. Innymi słowy określ rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega. }\)

Opisz zdarzenia, których prawdopodobieństwa mamy obliczyć.

Określ dla tych zdarzeń odpowiednie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \Omega. }\)

Oblicz ich liczności i prawdopodobieństwa zajścia.

Zinterpretuj otrzymane wartości prawdopodobieństw.