przestrzeń probabilistyczna

[akil2001]

Czy zachodzą implikacje
1) jesli prawdopodobienstwo zdarzen \(\displaystyle{ A(t)}\) jest rowne \(\displaystyle{ 1}\) dla dowolnych indeksów \(\displaystyle{ t \in T}\) to czy z tego wynika, że prawdopodobienstwo przecięć tych zdarzen jest równe \(\displaystyle{ 1}\).
2) jesli prawdopodobienstwo zdarzen \(\displaystyle{ A(t)}\) jest rowne \(\displaystyle{ 0}\) dla dowolnych indeksów \(\displaystyle{ t\in T}\) to czy z tego wynika, że prawdopodobieństwo sumy tych zdarzen jest równe \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ T}\)-dowolny zbiór indeksów oraz dana jest przestrzeń probabilistyczna.

[a4karo]

Nie i nie. Poszukaj przykładów (prostych)

[akil2001]

do 2) przykładem może być np miara którą zdefiniujemy jako \(\displaystyle{ 0}\), gdy zbiór przeliczalny oraz dająca \(\displaystyle{ 1}\) gdy nieprzeliczalny .omega nieprzeliczalna a sigma ciało składa się z zbiorów przeliczalnych i zbiorów o przeliczalnych dopełnieniach. Wówczas, gdy wezmiemy singletony to ich miary bedą równe \(\displaystyle{ 0}\), a gdy zsumujemy dla \(\displaystyle{ t\in\RR}\) da nam \(\displaystyle{ 1}\)? dobrze myśle?
Jednak mam problem z 1).

[Janusz Tracz]

dobrze myśle?

Moim zdaniem tak. Ogólnie widać, że p. probabilistyczna powinna być nieprzeliczalna (podobnie zbiór indeksów \(\displaystyle{ |T|>\aleph_0}\)) bo miara jest przeliczalnie addytywna więc jak się chce to zepsuć to trzeba mieć większe sumy. Taki odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) z sigma ciałem zbiorów Borelowskich i miara Lebesgue'a powinien wystarczyć. Bo tak jak mówisz kładąc \(\displaystyle{ T=[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ A(t)=\left\{ t\right\} }\) pokazuje, że

\(\displaystyle{ (\forall t\in T)\lambda(A(t))=0 \quad \& \quad \lambda\left( \bigcup_{t\in T}^{} A(t)\right)=1. }\)

A co do przeciąć to miara probabilistyczna (tu miara Lebesgue'a akurat jest probabilistyczna) ma taką własność, że na dopełnieniach zbiorów można ją liczyć jako \(\displaystyle{ 1}\) odjąć miara zbioru dopełnianego. Podejrzewam więc, że wystarczy tylko dopełniać \(\displaystyle{ A(t)}\).

[akil2001]

W jaki sposób dopełniać \(\displaystyle{ A(t)}\), bo nadal nie za bardzo to widzę

[Jan Kraszewski]

Brać dopełnienie do \(\displaystyle{ [0,1]}\)...

Czyli w a) \(\displaystyle{ A_t=[0,1]\setminus\{t\}.}\)

JK

[akil2001]

Dziękuje, już widzę działanie tego kontrprzykładu

Dodano po 24 minutach 28 sekundach:
a czy jesli mamy wstepujący ciąg sigma cial to przeliczalna suma jest też sigma ciałem?

[Jan Kraszewski]

a czy jesli mamy wstepujący ciąg sigma cial to przeliczalna suma jest też sigma ciałem?

A próbowałeś sprawdzać warunki z definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała?

JK

[akil2001]

Mam problem z 3 warunkiem(

[Jan Kraszewski]

Jaki masz problem?

JK

PS I pamiętaj o LaTeXu.