Proces Wienera- rozkład warunkowy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Iza8723 »

Jeśli \(\displaystyle{ W_{t}}\) jest procesem Wienera, wyznacz rozklad warunkowy zmiennej \(\displaystyle{ W_{t}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ W_{s}}\), dla \(\displaystyle{ 0 \le s \le t}\). Mógłby ktoś podpowiedzieć od czego zacząć :?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Tmkk »

Chcesz policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t \le a \ | \ W_s)}\). Odejmij sobie w tej nierówności \(\displaystyle{ W_s}\) od obu stron i skorzystaj z odpowiednich własności procesu Wienera (niezależność i stacjonarność przyrostów).
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Iza8723 »

Nie do końca widzę co mi to da, że rozpisze sobie to następująco \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s}|W_{s})}\)
i wiem, że przyrosty \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s} }\) \(\displaystyle{ W_{s}}\) są niezależne, wiem że mają rozklad normalny, znam ich wariancje, ale nie wiem jak z tego skorzystać
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Tmkk »

A czy umiałabyś policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t - W_s \le a-c \ | \ W_s)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,c}\) to stałe? Bo intuicyjnie do tego sprowadza się to zadanie - warunkowanie na \(\displaystyle{ W_s}\) oznacza, że wiesz wszystko na temat tej zmiennej losowej i przy liczeniu wartości oczekiwanej (czy jak tu prawdopodobieństwa), traktujesz ją jak stałą.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Iza8723 »

Czyli to będzie po prostu \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s})}\), czyli \(\displaystyle{ P(Z \le \frac{a-W_{s}}{t-s})}\)? Tylko pytanie czy mogę to zapisać, że \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s}|W_{s})=\frac{P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s})P(W_{s})}{P(W_{s})}}\) ?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 14:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: po prostu.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy

Post autor: Tmkk »

Przypomnę, że warunkowanie na \(\displaystyle{ W_s}\) to tak naprawdę warunkowanie na \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\), tylko skrótowo się tej sigmy nie pisze. Tak czy inaczej, warunkujesz na sigma ciało generowane przez zmienną losową, nie na samą zmienną losową, to nie miałoby sensu. Więc niezbyt widzę czym miałoby być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_s)}\).

Co więcej, ten napis na dole sugeruje, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s)}\), bo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_s)}\) się skraca, nie? Ale to jest nieprawda, bo rzecz po lewej stronie to zmienna losowa mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\), a rzecz po prawej to liczba.

Ogólnie, to jest trochę kwestia tego, jak bardzo formalnie chcesz mieć to uzasadnione. Idea jest taka, jak wspominałem i można to zapisać tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-c \ | \ W_s)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}(W_{t-s} \le a-c)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}\left(Z \le \frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)_{\ | \ c = W_s}}\).

W pierwszym przejściu uwzględniam, że \(\displaystyle{ W_s}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\) i traktuję jako stałą \(\displaystyle{ c}\) o której pamiętam, że jest moim \(\displaystyle{ W_s}\) - bo wynik właśnie będzie zależał od zmiennej losowej \(\displaystyle{ W_s}\), bo na nią warunkujemy. Potem korzystam z niezależności przyrostów wywalając warunkowanie i jedocześnie jest stacjonarność, czyli \(\displaystyle{ W_t - W_s \sim W_{t-s}}\). Na koniec normuje, żeby wyszedł rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) (czyli tak, jak napisałaś, ale zgubiłaś pierwiastek). To prawdopodobieństwo możemy oczywiście napisać jako \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to dystrybuanta tego rozkładu normalnego i wrócić z \(\displaystyle{ c = W_s}\), otrzymując \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)}\).
ODPOWIEDZ