Proces Wienera- rozkład warunkowy
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Proces Wienera- rozkład warunkowy
Jeśli \(\displaystyle{ W_{t}}\) jest procesem Wienera, wyznacz rozklad warunkowy zmiennej \(\displaystyle{ W_{t}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ W_{s}}\), dla \(\displaystyle{ 0 \le s \le t}\). Mógłby ktoś podpowiedzieć od czego zacząć
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy
Chcesz policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t \le a \ | \ W_s)}\). Odejmij sobie w tej nierówności \(\displaystyle{ W_s}\) od obu stron i skorzystaj z odpowiednich własności procesu Wienera (niezależność i stacjonarność przyrostów).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy
Nie do końca widzę co mi to da, że rozpisze sobie to następująco \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s}|W_{s})}\)
i wiem, że przyrosty \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s} }\) \(\displaystyle{ W_{s}}\) są niezależne, wiem że mają rozklad normalny, znam ich wariancje, ale nie wiem jak z tego skorzystać
i wiem, że przyrosty \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s} }\) \(\displaystyle{ W_{s}}\) są niezależne, wiem że mają rozklad normalny, znam ich wariancje, ale nie wiem jak z tego skorzystać
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy
A czy umiałabyś policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t - W_s \le a-c \ | \ W_s)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,c}\) to stałe? Bo intuicyjnie do tego sprowadza się to zadanie - warunkowanie na \(\displaystyle{ W_s}\) oznacza, że wiesz wszystko na temat tej zmiennej losowej i przy liczeniu wartości oczekiwanej (czy jak tu prawdopodobieństwa), traktujesz ją jak stałą.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy
Czyli to będzie po prostu \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s})}\), czyli \(\displaystyle{ P(Z \le \frac{a-W_{s}}{t-s})}\)? Tylko pytanie czy mogę to zapisać, że \(\displaystyle{ P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s}|W_{s})=\frac{P(W_{t}-W_{s} \le a-W_{s})P(W_{s})}{P(W_{s})}}\) ?
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 14:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: po prostu.
Powód: Poprawa wiadomości: po prostu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Proces Wienera- rozkład warunkowy
Przypomnę, że warunkowanie na \(\displaystyle{ W_s}\) to tak naprawdę warunkowanie na \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\), tylko skrótowo się tej sigmy nie pisze. Tak czy inaczej, warunkujesz na sigma ciało generowane przez zmienną losową, nie na samą zmienną losową, to nie miałoby sensu. Więc niezbyt widzę czym miałoby być \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_s)}\).
Co więcej, ten napis na dole sugeruje, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s)}\), bo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_s)}\) się skraca, nie? Ale to jest nieprawda, bo rzecz po lewej stronie to zmienna losowa mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\), a rzecz po prawej to liczba.
Ogólnie, to jest trochę kwestia tego, jak bardzo formalnie chcesz mieć to uzasadnione. Idea jest taka, jak wspominałem i można to zapisać tak:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-c \ | \ W_s)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}(W_{t-s} \le a-c)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}\left(Z \le \frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)_{\ | \ c = W_s}}\).
W pierwszym przejściu uwzględniam, że \(\displaystyle{ W_s}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\) i traktuję jako stałą \(\displaystyle{ c}\) o której pamiętam, że jest moim \(\displaystyle{ W_s}\) - bo wynik właśnie będzie zależał od zmiennej losowej \(\displaystyle{ W_s}\), bo na nią warunkujemy. Potem korzystam z niezależności przyrostów wywalając warunkowanie i jedocześnie jest stacjonarność, czyli \(\displaystyle{ W_t - W_s \sim W_{t-s}}\). Na koniec normuje, żeby wyszedł rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) (czyli tak, jak napisałaś, ale zgubiłaś pierwiastek). To prawdopodobieństwo możemy oczywiście napisać jako \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to dystrybuanta tego rozkładu normalnego i wrócić z \(\displaystyle{ c = W_s}\), otrzymując \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)}\).
Co więcej, ten napis na dole sugeruje, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s)}\), bo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_s)}\) się skraca, nie? Ale to jest nieprawda, bo rzecz po lewej stronie to zmienna losowa mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\), a rzecz po prawej to liczba.
Ogólnie, to jest trochę kwestia tego, jak bardzo formalnie chcesz mieć to uzasadnione. Idea jest taka, jak wspominałem i można to zapisać tak:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-W_s \ | \ W_s) = \mathbb{P}(W_t-W_s \le a-c \ | \ W_s)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}(W_{t-s} \le a-c)_{\ | \ c = W_s} = \mathbb{P}\left(Z \le \frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)_{\ | \ c = W_s}}\).
W pierwszym przejściu uwzględniam, że \(\displaystyle{ W_s}\) jest mierzalne względem \(\displaystyle{ \sigma(W_s)}\) i traktuję jako stałą \(\displaystyle{ c}\) o której pamiętam, że jest moim \(\displaystyle{ W_s}\) - bo wynik właśnie będzie zależał od zmiennej losowej \(\displaystyle{ W_s}\), bo na nią warunkujemy. Potem korzystam z niezależności przyrostów wywalając warunkowanie i jedocześnie jest stacjonarność, czyli \(\displaystyle{ W_t - W_s \sim W_{t-s}}\). Na koniec normuje, żeby wyszedł rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) (czyli tak, jak napisałaś, ale zgubiłaś pierwiastek). To prawdopodobieństwo możemy oczywiście napisać jako \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - c}{\sqrt{t-s}}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to dystrybuanta tego rozkładu normalnego i wrócić z \(\displaystyle{ c = W_s}\), otrzymując \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{a - W_s}{\sqrt{t-s}}\right)}\).