wyznaczyć dystrybuantę ekstremalną
-
jelen+
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2021, o 17:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 10 razy
wyznaczyć dystrybuantę ekstremalną
Proszę o wytłumaczenie jak rozwiązać takie zadanie. Dany niech będzie rozkład Pareto o dystrybuancie \(\displaystyle{ G(t) = 1 − t^{−λ}, t \ge 1, λ > 0}\). Wyznacz dystrybuantę ekstremalną dla tego rozkładu.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: wyznaczyć dystrybuantę ekstremalną
Trochę teorii.
Rozpatrujemy blok maximum zmiennych losowych:
\(\displaystyle{ X_{M} = max[ X_{1}, X_{2},..., X_{n}]. }\)
Znajdujemy rozkład:
\(\displaystyle{ Pr(X_{M} \leq x) = Pr(X_{1}\leq x_{1}, X_{2}\leq x_{2},..., X_{n}\leq x) = Pr(X_{1}\leq x)\cdot Pr(X_{2}\leq x)\cdot...\cdot Pr(X_{n}\leq x) = [Pr(X_{1}\leq x)]^{n} = [ F(x)]^{n} = }\)
\(\displaystyle{ = F^{n}(x).}\)
Standaryzujemy ciąg dystrybuant, wprowadzając współczynniki rzeczywiste \(\displaystyle{ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}, \ \ \alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{n} }\) i uwzględniając granicę:
\(\displaystyle{ H(x) = \lim_{n\to \infty} Pr \left(\frac{X_{M} -\alpha_{n}}{\beta_{n}} \leq x \right) = \lim_{n\to \infty} F^{n}(\beta_{n}x +\alpha_{n}). }\)
Określamy rozkład graniczny \(\displaystyle{ H(t) }\) dla rozkładu Pareto: \(\displaystyle{ G(t) = 1 -t^{-\lambda}, \ \ t\geq 1, \ \ \lambda >0. }\)
W tym celu stosujemy podstawienia: \(\displaystyle{ \beta_{n} = n^{\frac{1}{\lambda}}, \ \ \alpha_{n} = 0.}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ H(t) = \lim_{n\to \infty} G^{n}(\beta_{n}\cdot t + \alpha_{n}) = \lim_{n\to \infty}\left( 1 - (n^{\frac{1}{\lambda}}t)^{-\lambda})\right)^{n} = \lim_{n\to \infty} \left(1 -\frac{1}{n}t^{-\lambda}\right)^{n} = \exp(-t^{-\lambda}). }\)
Graniczną dystrybuantą ekstremalną rozkładu Pareto jest dystrybuanta rozkładu Frecheta.
Do tego wniosku moglibyśmy dojść natychmiast, korzystając z twierdzenie Fischera-Tippeta, odnoszącego się do rozkładów ekstremalnych.
Rozpatrujemy blok maximum zmiennych losowych:
\(\displaystyle{ X_{M} = max[ X_{1}, X_{2},..., X_{n}]. }\)
Znajdujemy rozkład:
\(\displaystyle{ Pr(X_{M} \leq x) = Pr(X_{1}\leq x_{1}, X_{2}\leq x_{2},..., X_{n}\leq x) = Pr(X_{1}\leq x)\cdot Pr(X_{2}\leq x)\cdot...\cdot Pr(X_{n}\leq x) = [Pr(X_{1}\leq x)]^{n} = [ F(x)]^{n} = }\)
\(\displaystyle{ = F^{n}(x).}\)
Standaryzujemy ciąg dystrybuant, wprowadzając współczynniki rzeczywiste \(\displaystyle{ \beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n}, \ \ \alpha_{1}, \alpha_{2},..., \alpha_{n} }\) i uwzględniając granicę:
\(\displaystyle{ H(x) = \lim_{n\to \infty} Pr \left(\frac{X_{M} -\alpha_{n}}{\beta_{n}} \leq x \right) = \lim_{n\to \infty} F^{n}(\beta_{n}x +\alpha_{n}). }\)
Określamy rozkład graniczny \(\displaystyle{ H(t) }\) dla rozkładu Pareto: \(\displaystyle{ G(t) = 1 -t^{-\lambda}, \ \ t\geq 1, \ \ \lambda >0. }\)
W tym celu stosujemy podstawienia: \(\displaystyle{ \beta_{n} = n^{\frac{1}{\lambda}}, \ \ \alpha_{n} = 0.}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ H(t) = \lim_{n\to \infty} G^{n}(\beta_{n}\cdot t + \alpha_{n}) = \lim_{n\to \infty}\left( 1 - (n^{\frac{1}{\lambda}}t)^{-\lambda})\right)^{n} = \lim_{n\to \infty} \left(1 -\frac{1}{n}t^{-\lambda}\right)^{n} = \exp(-t^{-\lambda}). }\)
Graniczną dystrybuantą ekstremalną rozkładu Pareto jest dystrybuanta rozkładu Frecheta.
Do tego wniosku moglibyśmy dojść natychmiast, korzystając z twierdzenie Fischera-Tippeta, odnoszącego się do rozkładów ekstremalnych.