Przestrzen zd elementarnych w p calkowitym

[Mlodsza]

Meczy mnie tu taka rzecz. W typowych zadaniach na p-o calkowite doswiadczenie odbywa sie dwuetapowo. Mam w zwiazku z tym problem z opisaniem przestrzeni zdarzen elementarnych. Wezmy taki prosty przyklad:
Sa dwie urny, w pierwszej 2 czarne i jedna biala kula, w drugiej jedna czarna, drugia biala. Przekladamy z pierwszej urny do drugiej (pierwszy etep) jedna kule, a nastepnie z drugiej urny losujemy (etap dwa) jedna kule. Obliczyc p-o, ze to czarna kula.

A juz zupelnie sie gubie z przestrzenia zd el przy zadaniach o fabrykach, z ktorych przychodza partie zawierajace wybrakowany towar.
Bylabym bardzo wdzieczna za opisanie przestrzeni zdarzen elementarnych w powyzszym przykladzie z kulami, chcialabym to raz a dobrze zrozumiec...

[matmatmm]

Jako, że w przykładzie z kulami ilość wszystkich możliwości jest dość mała, zaproponuję poniższy model:

Oznaczmy kule numerami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 5}\). Kule o numerach \(\displaystyle{ 1,2,3}\) w pierwszej urnie, kule o numerach \(\displaystyle{ 4,5}\) w drugiej urnie. Kule \(\displaystyle{ 1,4}\) białe, kule \(\displaystyle{ 2,3,5}\) czarne.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych składać się będzie z wszystkich możliwych par \(\displaystyle{ (a,b)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to numer kuli wylosowanej w pierwszym etapie, a \(\displaystyle{ b}\) w drugim etapie. Zatem

\(\displaystyle{ \Omega=\{(1,1),(1,4),(1,5), (2,2), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5)\}}\)

Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a zdarzenie sprzyjające \(\displaystyle{ A}\) to wylosowanie kuli \(\displaystyle{ 2,3}\) lub \(\displaystyle{ 5}\) za drugim razem, czyli

\(\displaystyle{ A=\{(1,5),(2,2),(2,5), (3,3),(3,5)\}}\).

Podliczając \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\frac{5}{9}}\). Wynik zgadza się z tym otrzymanym ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

[janusz47]

Doświadczenie losowe opisane w treści zadania jest dwuetapowe:

-wylosowanie kuli z urny pierwszej i przełożenie do urny drugiej - etap pierwszy

-wylosowanie kuli z urny drugiej - etap drugi.

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ b }\) - kula biała

\(\displaystyle{ c }\) - kula czarna

Etap pierwszy:

\(\displaystyle{ (\Omega_{1},P_{1}):}\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1}= \{ b, c\}, \ \ P_{1}(b)= \frac{1}{3}, \ \ P_{1}(c) = \frac{2}{3}. }\)

Etap drugi

Z etapem drugim związane są dwa modele, w zależności od koloru wylosowanej kuli w etapie pierwszym i przełożeniu do urny drugiej:

\(\displaystyle{ (\Omega_{2} , P_{2|1}), \ \ (\Omega_{2} , P_{2|2}): }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{2} =\{ b, c\}, }\)

\(\displaystyle{ P_{2|1}(b) = \frac{2}{3}, \ \ P_{2|1}(c) = \frac{1}{3}, \ \ P_{2|2}(b) = \frac{1}{3}, \ \ P_{2|2}(c) = \frac{2}{3}. }\)

Model całego dwuetapowego doświadczenia:

\(\displaystyle{ (\Omega, P), }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \Omega = \{(b,b), (b, c), (c, b), (c, c) \}, }\)

\(\displaystyle{ P(b,b) = P_{1}(b) \cdot P_{2|1}(b) = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}, }\)

\(\displaystyle{ P(b,c) = P_{1}(b) \cdot P_{2|1}(c) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}, }\)

\(\displaystyle{ P(c,b) = P_{1}(c) \cdot P_{2|2}(b) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}, }\)

\(\displaystyle{ P(c,c) = P_{1}(c) \cdot P_{2|2}(c) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}. }\)

\(\displaystyle{ C }\) - zdarzenie "wylosowana kula z urny drugiej jest czarna. "

\(\displaystyle{ P(C) = P(b,c) + P(c,c) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}. }\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

Wykonując dwuetapowe doświadczenie losowe, możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 55,(5)\% }\) ogólnej liczbie jego wyników - wylosujemy z urny drugiej kulę czarną.

[Mlodsza]

janusz47, a to nic, ze w twoim modelu zdarzenia elementarne nie sa jednakowo prawdopodobne?

[janusz47]

W tym dwuetapowym doświadczeniu losowym - wylosowanie każdego koloru kuli z urny pierwszej jak i z urny drugiej jest jednakowo możliwe.

Dodano po 5 minutach 12 sekundach:
Modeli rozwiązania tego zadania jest kilka. Przedstawiłem model dwuetapowy preferowany przez Śp. Pana Prof. Tadeusza Kubika.

[Mlodsza]

Tak, wiem, dziekuje.
Chodzi mi o model calego dwuetapowego doswiadczenie, gdzie czteroelementowy omega, sklada sie ze zdarzen, prawdopodobienstwa ktorych sa rozne.

[a4karo]

A ja zupełnie poważnie się zastanawiam, dlaczego tytuł tego wątku nie brzmi

Prz zd elem w p całk

[janusz47]

Naprawdę nie wiem jakie zadanie ma Pani na myśli. Czy ma Pani zadanie, które sprawia trudność w poszukiwaniu modelu jego rozwiązania ?

Możemy jawnie użyć wzór na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne) w jego rozwiązaniu.

[Mlodsza]

Nie Pani, jaka pani?
Nie mam konkretnego zadania, chce pojac. Tam wyzej napisales (Pan napisal?;))

\(\displaystyle{ P(b,b)=\frac{2}{9}}\)
\(\displaystyle{ P(b,c)=\frac{1}{9}}\)

A \(\displaystyle{ (b,b)}\) i \(\displaystyle{ (b,c)}\) to zdarzenia elementarne, wiec, jak sadze, powinny miec takie samo p-o.

[janusz47]

A dlaczego miałyby być te prawdopodobieństwa równe, skoro są to prawdopodobieństwa warunkowe, dotyczące różnego składu kul białych i czarnych w urnie \(\displaystyle{ U_{2} }\) ?

Dodano po 33 minutach 59 sekundach:
Dokładniej są to prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń (prawdopodobieństwa całkowite).

Na przykład: \(\displaystyle{ P(b \ \ c)) }\) prawdopodobieństwo zdarzenia " z urny pierwszej wylosowano kulę białą i przełożono do urny drugiej i z urny drugiej wylosowano kulę czarną.