mając funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład

[jelen+]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania. Korzystając z własności funkcji charakterystycznej znajdź rozkład, którego funkcja charakterystyczna jest wyrażona wzorem \(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{1}{2}e^{-it}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}e^{2it} }\)

[Papabile]

Zauważ, że dla rozkładu dwupunktowego \(\displaystyle{ P(X=a)=p, P(X=b)=1-p}\) funkcja charakterystyczna to \(\displaystyle{ p \cdot e^{ita}+(1-p) \cdot e^{itb}}\).
A więc u ciebie łatwo wnioskujemy, że jest to funkcja charakterystyczna rozkładu \(\displaystyle{ P(X=-1)= \frac{1}{2},P(X=0)= \frac{1}{3},P(X=2)= \frac{1}{6} }\)

[janusz47]

Metoda Odwrotnego Przekształcenie Fouriera:

\(\displaystyle{ Pr(\{ X = x\}) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-itx} \cdot \phi(t) dt.}\)

Z addytywności funkcji charakterystycznych

\(\displaystyle{ \phi_{1}(t) = \frac{1}{2}e^{-it} : }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X = x_{1}\}) = \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{-T}^{T} e^{-tx_{1}}\cdot \frac{1}{2}e^{-it} dt = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{4T} \int_{-T}^{T} e^{-it(x_{1} +1)} dt _{|x_{1} =-1} = \lim_{T\to \infty} \frac{1}{4T} \int_{-T}^{T} dt = \frac{1}{2}. }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X = -1\}) = \frac{1}{2}. }\)

Podobnie dla funkcji:

\(\displaystyle{ \phi_{2}(t) = \frac{1}{3}, }\)

\(\displaystyle{ \phi_{3}(t) = \frac{1}{6}e^{2it}.}\)