Nieskończona liczba rzutów monetą - status ontologiczny pewnych wyników

[matemix]

Wyobraźmy sobie, że rzucamy monetą, generując sekwencje zer i jedynek. Jeżeli w pewnym momencie natrafimy na sekwencję:

\(\displaystyle{ 00001}\)

To kończymy serię rzutów. Nie ma znaczenia, czy zero oznacza reszkę, a jedynka orła, czy odwrotnie. Istnieje możliwość, że pewne losowania będą trwały wiecznie, czyli, że będą generować nieskończone ciągi zer i jedynek. Prawdopodobieństwo uzyskania jakiejś konkretnej, nieskończonej sekwencji orłów i reszek jest zerowe (większość będzie prędzej czy później zatrzymywać się, bo szanse na natrafienie na \(\displaystyle{ 00001}\) są spore). Ale takich nieskończonych sekwencji, które nigdy nie natrafią na \(\displaystyle{ 00001}\) można sobie wyobrazić nieskończenie wiele.

Co możemy powiedzieć o takim doświadczeniu? Czy można sformułować/udowodnić twierdzenie, że wynik każdego losowania będzie skończony? W praktyce każda seria rzutów się zakończy, bo w końcu napotka na \(\displaystyle{ 00001}\). Jednocześnie można łatwo wskazać takie wyniki losowań, które będą nieskończone. To mi zakrawa na paradoks.

Jak matematyka radzi sobie z takimi paradoksami? Prawdopodobieństwo uzyskania jakiejkolwiek nieskończonej serii jest zerowe, jak sądzę, ale czy w takim razie można powiedzieć, że wynik każdego losowania będzie skończony bez popadania w sprzeczności?

[Dasio11]

Uzyskanie nieskończonej serii rzutów jest możliwe teoretycznie, ale nie praktycznie, a ściślej: jest zdarzeniem niepustym którego prawdopodobieństwo wynosi zero. Nie ma w tym nic nadzwyczajnego, w końcu to samo zjawisko zachodzi gdy przestajemy rzucać po wypadnięciu pierwszej reszki: teoretycznie da się otrzymywać w nieskończoność same orły, ale prawdopodobieństwo takiej sytuacji jest zerowe.

[matemix]

Więc twierdzenie, że każde losowanie w końcu się zatrzyma jest prawdziwe?

Z tego, co wiem, to prawdopodobieństwo trafienia w konkretny punkt na tarczy również wynosi zero. Mimo to rzucając w tarczę nie oznacza to, że nie trafimy np. w jej środek. Tutaj tłumaczą to tak:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/882784/does-0-chance-mean-impossible/882787

Wydaje mi się, że prawdopodobieństwo wylosowania sekwencji nie zawierającej \(\displaystyle{ 00001}\) również jest zerowe, ale nie możemy powiedzieć, że to niemożliwe. To paradoks. Bo efektywnie możemy postawić miliony, że tak się nie stanie. Efektywnie możemy uzależnić przetrwanie gatunku ludzkiego od obstawienia, że do takiego zdarzenia nie dojdzie. A mimo to wciąż nie możemy powiedzieć, że coś takiego jest niemożliwe.

Tak jak pisałem, zakrawa mi to na paradoks i problemy z aksjomatyką/formalizmem matematycznym. Nigdy nie zgłębiałem tego zagadnienia i spodziewałbym się, że matematycy już dawno uporządkowali te kwestie i podobnie jak paradoks Achillesa i żółwia nie jest to już problem w matematyce. Ale może się mylę i sprawy po prostu mają się tak, jak się mają?

Paradoks, powtarzam, polega na tym, że wystąpienie takiej sekwencji jest praktycznie niemożliwe, nawet, gdybyśmy mieli nieskończenie wiele czasu (a wszechświat istniał wiecznie), a mimo to nie możemy powiedzieć, że to niemożliwe. A może to niezależne od aksjomatów ZFC i możemy sobie stwierdzić zarówno, że to możliwe jak i niemożliwe?

[krl]

Prawdopodobieństwo w matematyce, jak i cała matematyka, to rzeczywistość abstrakcyjna, nieistniejąca realnie. Dlatego stwierdzenie: "losujemy liczbę z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)" ma charakter teoretyczny, bez bezpośredniego odniesienia do rzeczywistości. Podobnie stwierdzenie "szansa na wyrzucenie szóstki w jednym rzucie kostką do gry wynosi 1/6" tylko pozornie ma jednoznacznie określone realne znaczenie. Na pewno realne znaczenie ma sam rzut kostką do gry z wynikiem sześć: odpowiada on odpowiedniemu weryfikowalnemu fizycznemu zjawisku. Natomiast określenie prawdopodobieństwa ma już charakter teoretyczny i można je tu rozumieć np. w sensie częstościowym jako stwierdzenie, że gdy będziemy rzucać daną kostka wiele razy, to szóstka będzie wypadać mniej więcej w 1/6 przypadków. Ale nie musi to być jedyne rozumienie prawdopodobieństwa w tym przypadku.
Gdy rzucamy rzutką do tarczy, to prawdopodobieństwo trafienia w dany punkt (rozumiane np. częstościowo) nie jest zerowe, gdyż ten "punkt" jest realny a nie abstrakcyjny i w związku z tym jest w istocie pewnym obszarem tarczy o dodatnim polu. Ale też realnie na tarczy jest tylko skończenie wiele punktów.
Stwierdzenie: "linijka ma długość 30 cm" też ma charakter przybliżony w stosunku do rzeczywistości. W ogóle cała matematyka może być rozumiana jako idealizacja rzeczywistości. Abstrakcyjny punkt na tarczy jest idealizacją realnych punktów, tj. małych obszarów na tej tarczy, gdy pola tych obszarów dążą do zera.

[matemix]

Gdy rzucamy rzutką do tarczy, to prawdopodobieństwo trafienia w dany punkt (rozumiane np. częstościowo) nie jest zerowe, gdyż ten "punkt" jest realny a nie abstrakcyjny i w związku z tym jest w istocie pewnym obszarem tarczy o dodatnim polu.

Moim zdaniem ten punkt nie jest realny. Punkt nie może być obszarem, chyba, że tak go zdefiniujemy. Ale rozważając właśnie punkt, np. środek tarczy, to w praktyce możemy postępować, jakby nie istniał. Zwiększając precyzję rzutu (np. bombardując tarczę pojedynczymi elektronami) oraz pomiaru, do kolejnych miejsc po przecinku, w praktyce okaże się, że nigdy nie trafimy w środek, wykonując losowe rzuty. Jesteśmy w stanie prawdopodobnie to zrobić za pomocą jakiejś deterministycznej procedury (mając do dyspozycji nieskończenie precyzyjne urządzenia). Ale, gdy w grę wchodzi losowość, możemy przyjąć, że dowolna liczba punktów, które mają zerową gęstość w zbiorze, który jest naszą tarczą nie istnieje.