Sprawdzenie czy zachodzi MPWL

[kropek14]

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i, i=1,2, \ldots }\) mają ten sam rozkład dyskretny:
a) \(\displaystyle{ P(X_i=2^k)=\frac{2^{k+3}}{10^{k+1}}, k=0,1,2, \ldots }\)
b) \(\displaystyle{ P(X_i= \frac{(-1)^k}{k} )=\frac{k}{2^k}, k=1,2, \ldots }\)
Czy dla takiego ciągu zachodzi MPWL?

[a4karo]

w b) chyba `k/2^{k+1}`

[Tmkk]

Dla niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie masz twierdzenie (MPWL Kołmogorowa), które daje prostą charakteryzację, kiedy ciąg spełnia / nie spełnia MPWL.

[Papabile]

Zmienne są i.i.d więc starczy sprawdzić czy zachodzi \(\displaystyle{ E\left| X_{1}\right| < \infty }\). I wartość oczekiwaną dyskretną liczymy z definicji:
\(\displaystyle{ E\left| X_{1}\right|= \sum_{k=0}^{ \infty } 2^{k} \cdot \left( \frac{2^{k+1}}{10^{k+1}} \right)=\sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{2}{5} \right) ^{k} }\) no i to jest szereg geometryczny zbieżny więc zachodzi MPWL. I analogicznie w drugim przypadku.