Cześć,
jak powinno się rozbić prawdopodobieństwo zadane
\(\displaystyle{ P(X^{2} \in ( \frac{1}{16}, 2 ^{2} ])}\)?
Prawdopodobieństwo od X^2
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Prawdopodobieństwo od X^2
Ten napis to skrót od
\(\displaystyle{
\begin{split}
\mathbb{P}\left( (X^2) ^{-1}\left[ \left( 1/16,4\right] \right] \right) &= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/16< X^2(\omega) \le 4\right\} \right) \\
& = \mathbb{P}\,( \{ \omega\in\Omega: \sqrt{1/16} < \sqrt{X^2(\omega)} \le \sqrt{4} \} )\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < |X(\omega)| \le 2\right\} \right)\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < X(\omega) \le 2\right\} \cup \left\{ \omega\in\Omega: -2 \le X(\omega) <-1/4\right\} \right)\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < X(\omega) \le 2\right\} \right) + \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: -2 \le X(\omega) <-1/4\right\} \right)\\
&= \mathbb{P} (X^{-1}\left[ \left( 1/4,2\right] \right] )+ \mathbb{P} (X^{-1}\left[ \left[ -2,-1/4\right) \right] )
\end{split}
}\)
co oznacza się \(\displaystyle{ \mathbb{P} (1/4<X \le 2)+\mathbb{P} ( -2 \le X<-1/4)}\). Jednak bez wiedzy o zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) trudno powiedzieć coś na temat konkretnych wartości.
\(\displaystyle{
\begin{split}
\mathbb{P}\left( (X^2) ^{-1}\left[ \left( 1/16,4\right] \right] \right) &= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/16< X^2(\omega) \le 4\right\} \right) \\
& = \mathbb{P}\,( \{ \omega\in\Omega: \sqrt{1/16} < \sqrt{X^2(\omega)} \le \sqrt{4} \} )\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < |X(\omega)| \le 2\right\} \right)\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < X(\omega) \le 2\right\} \cup \left\{ \omega\in\Omega: -2 \le X(\omega) <-1/4\right\} \right)\\
&= \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: 1/4 < X(\omega) \le 2\right\} \right) + \mathbb{P}\left( \left\{ \omega\in\Omega: -2 \le X(\omega) <-1/4\right\} \right)\\
&= \mathbb{P} (X^{-1}\left[ \left( 1/4,2\right] \right] )+ \mathbb{P} (X^{-1}\left[ \left[ -2,-1/4\right) \right] )
\end{split}
}\)
co oznacza się \(\displaystyle{ \mathbb{P} (1/4<X \le 2)+\mathbb{P} ( -2 \le X<-1/4)}\). Jednak bez wiedzy o zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) trudno powiedzieć coś na temat konkretnych wartości.