Niech\(\displaystyle{ (Y_{n})_{n=0}^{\infty}}\) będzie ciagiem całkowalnych zmiennych losowych adaptowanym do filtracji \(\displaystyle{ F_{n}}\). Załóżmy, że istnieją ciągi \(\displaystyle{ {u_{n}}, {v_{n}}, n \ge 0}\) takie, że \(\displaystyle{ E(Y_{n+1}|F_{n})=u_{n}Y_{n}+v_{n}}\). Znajdź ciągi liczbowe \(\displaystyle{ {a_{n}},{b_{n}}, n \ge 0}\) takie, że \(\displaystyle{ M_{n}=a_{n}Y_{n}+b_{n}}\) jest martyngalem względem filtracji \(\displaystyle{ F_{n}}\) .
Rozpisałam to nastepujaco:
\(\displaystyle{ E(M_{n+1}|F_{n})=E(a_{n+1}Y_{n+1}+b_{n+1}|F_{n})=a_{n+1}E(Y_{n+1}|F_{n})+b_{n+1}=a_{n+1}u_{n}Y_{n}+a_{n+1}v_{n}+b_{n+1}}\)
Przyrównując to do \(\displaystyle{ a_{n}Y_{n}+b_{n}}\) otrzymuje, że \(\displaystyle{ a_{n+1}v_{n}+b_{n+1}=b_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}u_{n}=a_{n}}\). Co dalej mogę zrobić?
Martyngał
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngał
A jest coś powiedziane o tych ciągach? Bo zawsze można wziąć dla każdego \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ a_n = b_n = 0}\) i już : P
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngał
Właśnie nic nie jest więcej powiedziane, a gdyby te ciągi musiałyby być niezerowe to co wtedy ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngał
Możesz to po prostu rozwiązać. Popatrz sobie na drugie równanie i spróbuj z niego wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) w terminach \(\displaystyle{ u_0, u_1, \ldots ,u_n}\) (które są znane) oraz \(\displaystyle{ a_0}\) (za które możesz wziąć cokolwiek). W szczególności, bądź czujna z tym, co się dzieje, gdy któryś wyrazów \(\displaystyle{ u_i}\) jest równy zero.