Znaleźć ciąg, aby proces był martyngałem

[Iza8723]

Niech proces \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}\right\} }\) bedzie procesem symetrycznego błądzenia losowego z czasem dyskretnym i niech \(\displaystyle{ \left\{ F_{n}\right\} }\) oznacza filtrację naturalną tego procesu. Znajdź deterministyczny ciąg \(\displaystyle{ a_{n}\in \mathbb{R}}\) taki, że proces zadany jako \(\displaystyle{ Z_{n}=X_{n}^{3}+a_{n}X_{n}}\) jest martyngałem względem filtracji \(\displaystyle{ \left\{ F_{n}\right\} }\).

Próbowałam rozpisać warunek \(\displaystyle{ E(Z_{n+1}|F_{n})=Z_{n}}\)
\(\displaystyle{ E(Z_{n+1}|F_{n})=E(X_{n+1}^{3}+a_{n}X_{n+1}|F_{n})=E(X_{n+1}^{3}|F_{n})+a_{n}E(X_{n+1}|F_{n})}\) i w zasadzie nic to mi nie daje a nie wiem jak to dalej rozpisać

[Tmkk]

Bo nigdzie nie korzystasz z tego, czym jest \(\displaystyle{ (X_n)_{n\ge 0}}\).

Niech proces \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}\right\} }\) bedzie procesem symetrycznego błądzenia losowego z czasem dyskretnym

To jak to można zapisać?

[Iza8723]

Możemy zapisać, że \(\displaystyle{ X_{n}= \sum_{i=1}^{n}Y_{i} }\), gdzie \(\displaystyle{ Y_{i} }\) to zmienne losowe ?

[Tmkk]

Tak, a jakie to są zmienne losowe? : )

[Iza8723]

Niezależne?

[Tmkk]

Tak, a jaki mają rozkład?

Jeszcze precyzując, \(\displaystyle{ X_n = \sum_{i=1}^n Y_n}\) to przy założeniu, że proces startuje z zera. Jeśli startuje z innego punktu, powiedźmy \(\displaystyle{ x}\), to byłoby po prostu \(\displaystyle{ X_n = x + \sum_{i=1}^n Y_n}\).

Uprzedzając odpowiedź, z postaci \(\displaystyle{ X_n}\) mamy w szczególności równość \(\displaystyle{ X_{n+1} = X_n + Y_{n+1}}\). Jak to podstawisz pod moment, w którym się zacięłaś i zaczniesz liczyć / upraszczać, to wyjdzie. PS tam masz literówkę, powinno być \(\displaystyle{ a_{n+1}}\).

[Iza8723]

Podniosłam \(\displaystyle{ X_{n+1}^{3}}\) i dostałam coś takiego \(\displaystyle{ ( \sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{3}-3(\sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{2}Y_{n+1}+3\sum_{i=1}^{n} Y_{i}(Y_{n+1})^{2}+(Y_{n+1})^{3}}\)
No i wiemy, że te sumy, iloczyny będą \(\displaystyle{ F_{n}}\) mierzalne czyli będziemy mogli wyciągnąć to przed wartość oczekiwaną, ale nadal mi zostanie wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E(Y_{n+1}|F_{n})}\)
\(\displaystyle{
( \sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{3}-3(\sum_{i=1}^{n} Y_{i})^{2})E(Y_{n+1}|F_{n})+3\sum_{i=1}^{n} Y_{i}E((Y_{n+1})^{2}|F_{n})+E((Y_{n+1})^{3}|F_{n})}\) , ale jak dalej? I co z tym ciągiem \(\displaystyle{ a_{n}}\)?

[Tmkk]

O, i teraz jest dobry moment, aby użyć niezależności. Jak wszystko doliczysz i przyrównasz z tym, co ma wyjść (tj. \(\displaystyle{ Z_n}\)), dostaniesz warunek na ciąg \(\displaystyle{ a_n}\).

[Iza8723]

A no tak, skoro są niezależne to \(\displaystyle{ E(Y_{n+1}|F_{n})=E(Y_{n+1})}\) oraz \(\displaystyle{ E((Y_{n+1})^{2}|F_{n})=E(Y_{n+1})^{2}}\) to drugie tak będzie, bo nie jestem pewna ?
Ale jak to rozpisałam i przyrównałam to dostałam, że \(\displaystyle{ E(Y_{n+1})=0}\), ale o \(\displaystyle{ a_{n}}\), żadnych ograniczeń nie dostałam

[Tmkk]

\(\displaystyle{ E((Y_{n+1})^{2}|F_{n})=E(Y_{n+1})^{2}}\)

jeśli tam ten kwadrat tyczy się zmiennej losowej, tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}^2)}\), to tak.

Ale jak to rozpisałam i przyrównałam to dostałam, że \(\displaystyle{ E(Y_{n+1})=0}\), ale o \(\displaystyle{ a_{n}}\), żadnych ograniczeń nie dostałam

No ale policz wszystko, tzn byłaś na etapie \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_{n+1}^3 | \mathcal{F}_n) + a_{n+1}\mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n)}\) i oba kawałki chcesz porozpisywać.

[Iza8723]

Może coś źle rozpisałam, ale wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{3}|F_{n})=( \sum_{}^{} Y_{i})^{3}-3( \sum_{}^{} Y_{i})^{2}E(Y_{n+1}|F_{n})+3 \sum_{}^{} Y_{i}E(Y_{n+1}^{2}|F_{n})+E(Y_{n+1}^{3}|F_{n})=( \sum_{}^{} Y_{i})^{3}-3( \sum_{}^{} Y_{i})^{2}E(Y_{n+1})+3 \sum_{}^{} Y_{i}E(Y_{n+1}^{2})+E(Y_{n+1}^{3})}\)
\(\displaystyle{ a_{n}E(X_{n+1}|F_{n})= a_{n}\sum_{}^{} Y_{i}+a_{n}E(Y_{n+1})}\)
I jak przyrównam to do \(\displaystyle{ ( \sum_{}^{} Y_{i})^{3}+a_{n} \sum_{}^{} Y_{i}}\) dostanę równanie :
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} Y_{i}+E(Y_{n+1})= \sum_{}^{} Y_{i}}\) czyli \(\displaystyle{ E(Y_{n+1})=0}\) i na tym się zatrzymałam

[Tmkk]

1. Tak jak pisałem wcześniej, masz tam literówkę, napisałaś, że \(\displaystyle{ Z_{n+1} = X_{n+1}^3 + a_nX_{n+1}}\), zamiast \(\displaystyle{ Z_{n+1} = X_{n+1}^3 + \color{red}a_{n+1}\color{black}X_{n+1}}\). Wtedy takie przyrównanie, jak zrobiłaś, niewiele da, bo niewiele się skróci.

2. Tak na marginesie, w jaki sposób w takim przyrównaniu jak zrobiłaś, znika wyraz na przykład \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}^3)}\)?

3. Powtórzę pytanie sprzed kilku postów - jaki rozkład mają zmienne losowe \(\displaystyle{ (Y_n)_{n \ge 1}}\)? To powinnaś wiedzieć (albo znaleźć w zeszycie / internecie) i wtedy rzeczy typu \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}), \ \mathbb{E}(Y_{n+1}^2), \ \mathbb{E}(Y_{n+1}^3)}\) się najzwyczajniej w świecie liczy : )

[Iza8723]

3. Powtórzę pytanie sprzed kilku postów - jaki rozkład mają zmienne losowe \(\displaystyle{ (Y_n)_{n \ge 1}}\)? To powinnaś wiedzieć (albo znaleźć w zeszycie / internecie) i wtedy rzeczy typu \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}), \ \mathbb{E}(Y_{n+1}^2), \ \mathbb{E}(Y_{n+1}^3)}\) się najzwyczajniej w świecie liczy : )

Te wartosci oczekiwane będą po prostu równe \(\displaystyle{ 0}\), skoro jest to błądzenie losowe ?

[Tmkk]

Tak, bo skoro to jest symetryczyne błądzenie losowe, to \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}) = \mathbb{E}(Y_{n+1}^3) = 0}\), ale \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}^2)}\) już nie jest zerowe.

[Iza8723]

Tak, bo skoro to jest symetryczyne błądzenie losowe, to \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}) = \mathbb{E}(Y_{n+1}^3) = 0}\), ale \(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_{n+1}^2)}\) już nie jest zerowe.

Czy \(\displaystyle{ E(Y_{n+1}^{2})=1}\)? Jeśli tak to wyszło mi rownanie \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=3}\)