Martyngały, filtracja

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Rozważamy przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ ([0,1],B_{[0,1]},\lambda)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a. Niech \(\displaystyle{ Y_{n}(\omega)=\omega^{2} \mathbf{1}_{[0,1-\frac{1}{n}]}+ \mathbf{1}_{[1-\frac{1}{n},1]}}\) oraz \(\displaystyle{ X(\omega)=2\omega}\).
1. Wyznacz postać filtracji generowanej przez proces \(\displaystyle{ {Y_{n}}}\).
2. Wyznacz postać procesu \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\).
3. Czy proces \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Jakieś próby? Na czym się zatrzymujesz?
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

1. Jakbyś nakierował mnie od czego zacząć przy wyznaczaniu filtracji, nie mieliśmy tego na zajęciach, a żeby dalsze podpunkty rozwiązać muszę znać filtrację.
2. Teoretycznie wiem jak rozwiązać tego typu zadania, ale problem w tym, że Y jest zależny od n i nie wiem jak to rozważyć.
3. Jak już będę znała filtrację to nie powinnam mieć problemu ze sprawdzeniem czy jest to martyngał
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Filtracja generowana przez proces \(\displaystyle{ Y_n}\) to wstępujący ciąg sigma ciał \(\displaystyle{ \mathcal{F}_n = \sigma(Y_1, Y_2,\ldots Y_n)}\).

Dla przypomnienia, \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) to najmniejsze sigma ciało, dla którego zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna, czyli nic innego jak zbiór przeciwobrazów wszystkich zbiórów borelowskich na prostej - na znaczkach:

\(\displaystyle{ \sigma(X) = \left\{ X^{-1}(B) : \hbox{dla każdego } B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\} }\)

Czyli aby takie sigma ciało znaleźć, musisz wziąć każdy zbiór borelowski i sprawdzić, co na niego przechodzi. To brzmi jak zadanie nie do wykonania, ale na szczęście są odpowiednie twierdzenia, że wystarczy popatrzeć na generatory, czyli np zbiory otwarte albo nawet półproste!

Krótko mówiąc, wystarczy, że znajdziesz następujące przeciwobrazy \(\displaystyle{ X^{-1}((-\infty, t))}\), dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) i zrobisz z nich sigma ciało, tj. zachodzi \(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to rodzina zbiorów postaci \(\displaystyle{ \left\{\omega \in \Omega : X(\omega) < t\right\} }\), \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\). U Ciebie oczywiście \(\displaystyle{ \Omega = [0,1]}\).

Dla przykładu, wezmę sobię te zmienną \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) z treści. Dla niej mamy \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, t/2)}\) dla \(\displaystyle{ t \in (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, 1]}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 2}\). Wobec tego

\(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(\left\{ \emptyset, \hbox{zbiory postaci } [0,t/2) \hbox{ dla } t \in (0,2), [0,1]\right\} }\).


Nietrudno się przekonać, że to jest po prostu całe \(\displaystyle{ \mathcal{B}(0,1)}\), bo takie odcinki \(\displaystyle{ [0,a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in [0,1]}\) to też są generatory sigma ciała zbiorów borelowskich (w tym przypadku na \(\displaystyle{ [0,1]}\))

To teraz wezmę \(\displaystyle{ Y_1 = 1_{[0,1]}}\). Wówczas \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = [0,1]}\) dla \(\displaystyle{ t > 1}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \sigma(\left\{ \emptyset, [0,1]\right\}) }\), co w tym przypadku jest po prostu równe \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \left\{ \emptyset, [0,1] \right\} }\), czyli sigma ciało trywialne.

Teraz spróbuj zrobić to samo dla \(\displaystyle{ Y_2}\).
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Czyli \(\displaystyle{ Y_{2}=\omega^{2} \mathbf{1}_{\left[ 0, \frac{1}{2}\right] } +\mathbf{1}_{\left[ \frac{1}{2}, 1\right] } }\).
I teraz wyznaczam
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0, \sqrt{t} \right] }\) dla \(\displaystyle{ \frac{1}{4} > t >0 }\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla\(\displaystyle{ 1 \ge t \ge \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0,1 \right] }\) dla \(\displaystyle{ t >1 }\)
Czyli \(\displaystyle{ \sigma(Y_{2})=\sigma(\emptyset,\left[ 0, \sqrt{t} \right], \left[ 0,1\right] ) }\)
Dobrze, czy pomyliłam coś, i co dalej?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Uważaj gdzie jest nawias otwarty, gdzie domknięty. Dla całego tego zadania nie ma to większego znaczenia (mogłabyś patrzeć na przeciwobrazy \(\displaystyle{ (-\infty, t]}\) zamiast \(\displaystyle{ (-\infty, t)}\), a jak potem będziesz liczyć całki, to to też się nie liczy), ale ktoś mógłby się czepiać.
Iza8723 pisze: 3 gru 2021, o 11:16 \(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla\(\displaystyle{ 1 \ge t \ge \frac{1}{4}}\)
a nie \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\)? I formalnie, \(\displaystyle{ 1 \ge t > \frac{1}{4}}\).
Iza8723 pisze: 3 gru 2021, o 11:16 Czyli \(\displaystyle{ \sigma(Y_{2})=\sigma(\emptyset,\left[ 0, \sqrt{t} \right], \left[ 0,1\right] ) }\)
ale to nie jest jeden zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0, \sqrt{t} \right]}\), tylko wszystkie takie przedzialiki dla \(\displaystyle{ t \in \left[0, \frac{1}{4}\right] }\). Lub nawet prościej można napisać po prostu \(\displaystyle{ \left[ 0, t \right]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\), bo to to samo, nie?

No dobra, podsumowując, sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_2}\) to sigma ciało generowane przez przedziały \(\displaystyle{ \left[ 0, t \right]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\) oraz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\), chociaż to można pominąć, bo z definicji sigma ciała na jakimś zbiorze, cały zbiór tam ma siedzieć.

To teraz pytanie: Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_1, Y_2)}\)? Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_3)}\)? A ile wtedy \(\displaystyle{ \sigma(Y_1,Y_2,Y_3)}\)? A ogólnie?
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{2}{3}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},\frac{2}{3}],[0,1])}\) tak ?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Zapytam inaczej (zbiór pusty i całą przestrzeń pomijam, bo one z definicji są w sigma ciele), czy widzisz różnicę między sigma ciałem generowanym przez zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{2}{3} \right]}\), a sigma ciałem generowanym przez zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[0, t \right] }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t \in \left[ 0 , \frac{2}{3}\right] }\)? Bo różnica jest bardzo duża : P
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Faktycznie, bez sensu to napisałam.
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,1],[0,t])}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in [0,\frac{2}{3}]}\) czyli te sigma ciała będą miały taka samą postać tylko przedział \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmieniał. Tylko jak wtedy zapisać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})}\) I ogólnie?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

A popatrz na to chwilkę. Wydaje mi się, ze z takiej postaci, jak masz to teraz zapisane, nietrudno się przekonać, że \(\displaystyle{ \sigma(Y_1,Y_2,Y_3) = \sigma(Y_3)}\) i dalej będzie analogicznie : )
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Czyli ostatecznie filtracja będzie miała postać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\)?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Iza8723 pisze: 3 gru 2021, o 15:14 Czyli ostatecznie filtracja będzie miała postać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\)?
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\color{red}{\sigma} \color{black}\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\),

z czego zbiór pusty bym wyrzucił z zapisu, nie ma sensu go pisać, a zbiór \(\displaystyle{ [0,1]}\) zostawił, żeby zaznaczyć, że jesteśmy na tej przestrzeni. Czyli

\(\displaystyle{ \mathcal{F}_n = \sigma(Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n) = \sigma(Y_n) = \sigma\left\{ [0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\}}\).
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Rozumiem, dzięki.
Zastanawiam się teraz jak mam wyznaczyć proces \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\) to mam wyznaczac dla każdego n z osobna ?
Bo jak będę miała \(\displaystyle{ X_{1}=E(X|Y_{1})}\) to mogę to zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{A}^{}2 \omega d\omega }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\)? I co dalej?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Tmkk »

Iza8723 pisze: 3 gru 2021, o 16:40 Zastanawiam się teraz jak mam wyznaczyć proces \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\) to mam wyznaczac dla każdego n z osobna ?
No tak, z tym, że nie ma się co rozdrabniać. Po prostu bierzesz dowolne \(\displaystyle{ n}\) i liczysz.
Iza8723 pisze: 3 gru 2021, o 16:40 Bo jak będę miała \(\displaystyle{ X_{1}=E(X|Y_{1})}\) to mogę to zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{A}^{}2 \omega d\omega }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\)? I co dalej?
a czemu tak? Niezbyt rozumiem. Podpowiem, że nie widzę innej drogi, jak napisać definicję warunkowej wartości oczekiwanej względem sigma ciała i kombinować.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Martyngały, filtracja

Post autor: Iza8723 »

Skoro mamy jakieś sigma ciało to wiemy, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall B\in F \int_{B}^{}E(X|F)dP= \int_{B}^{}XdP }\) tak?
ODPOWIEDZ