Martyngały, filtracja
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Martyngały, filtracja
Rozważamy przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ ([0,1],B_{[0,1]},\lambda)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a. Niech \(\displaystyle{ Y_{n}(\omega)=\omega^{2} \mathbf{1}_{[0,1-\frac{1}{n}]}+ \mathbf{1}_{[1-\frac{1}{n},1]}}\) oraz \(\displaystyle{ X(\omega)=2\omega}\).
1. Wyznacz postać filtracji generowanej przez proces \(\displaystyle{ {Y_{n}}}\).
2. Wyznacz postać procesu \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\).
3. Czy proces \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem?
1. Wyznacz postać filtracji generowanej przez proces \(\displaystyle{ {Y_{n}}}\).
2. Wyznacz postać procesu \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\).
3. Czy proces \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem?
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
1. Jakbyś nakierował mnie od czego zacząć przy wyznaczaniu filtracji, nie mieliśmy tego na zajęciach, a żeby dalsze podpunkty rozwiązać muszę znać filtrację.
2. Teoretycznie wiem jak rozwiązać tego typu zadania, ale problem w tym, że Y jest zależny od n i nie wiem jak to rozważyć.
3. Jak już będę znała filtrację to nie powinnam mieć problemu ze sprawdzeniem czy jest to martyngał
2. Teoretycznie wiem jak rozwiązać tego typu zadania, ale problem w tym, że Y jest zależny od n i nie wiem jak to rozważyć.
3. Jak już będę znała filtrację to nie powinnam mieć problemu ze sprawdzeniem czy jest to martyngał
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Filtracja generowana przez proces \(\displaystyle{ Y_n}\) to wstępujący ciąg sigma ciał \(\displaystyle{ \mathcal{F}_n = \sigma(Y_1, Y_2,\ldots Y_n)}\).
Dla przypomnienia, \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) to najmniejsze sigma ciało, dla którego zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna, czyli nic innego jak zbiór przeciwobrazów wszystkich zbiórów borelowskich na prostej - na znaczkach:
\(\displaystyle{ \sigma(X) = \left\{ X^{-1}(B) : \hbox{dla każdego } B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\} }\)
Czyli aby takie sigma ciało znaleźć, musisz wziąć każdy zbiór borelowski i sprawdzić, co na niego przechodzi. To brzmi jak zadanie nie do wykonania, ale na szczęście są odpowiednie twierdzenia, że wystarczy popatrzeć na generatory, czyli np zbiory otwarte albo nawet półproste!
Krótko mówiąc, wystarczy, że znajdziesz następujące przeciwobrazy \(\displaystyle{ X^{-1}((-\infty, t))}\), dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) i zrobisz z nich sigma ciało, tj. zachodzi \(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to rodzina zbiorów postaci \(\displaystyle{ \left\{\omega \in \Omega : X(\omega) < t\right\} }\), \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\). U Ciebie oczywiście \(\displaystyle{ \Omega = [0,1]}\).
Dla przykładu, wezmę sobię te zmienną \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) z treści. Dla niej mamy \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, t/2)}\) dla \(\displaystyle{ t \in (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, 1]}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 2}\). Wobec tego
Nietrudno się przekonać, że to jest po prostu całe \(\displaystyle{ \mathcal{B}(0,1)}\), bo takie odcinki \(\displaystyle{ [0,a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in [0,1]}\) to też są generatory sigma ciała zbiorów borelowskich (w tym przypadku na \(\displaystyle{ [0,1]}\))
To teraz wezmę \(\displaystyle{ Y_1 = 1_{[0,1]}}\). Wówczas \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = [0,1]}\) dla \(\displaystyle{ t > 1}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \sigma(\left\{ \emptyset, [0,1]\right\}) }\), co w tym przypadku jest po prostu równe \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \left\{ \emptyset, [0,1] \right\} }\), czyli sigma ciało trywialne.
Teraz spróbuj zrobić to samo dla \(\displaystyle{ Y_2}\).
Dla przypomnienia, \(\displaystyle{ \sigma(X)}\) to najmniejsze sigma ciało, dla którego zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna, czyli nic innego jak zbiór przeciwobrazów wszystkich zbiórów borelowskich na prostej - na znaczkach:
\(\displaystyle{ \sigma(X) = \left\{ X^{-1}(B) : \hbox{dla każdego } B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\} }\)
Czyli aby takie sigma ciało znaleźć, musisz wziąć każdy zbiór borelowski i sprawdzić, co na niego przechodzi. To brzmi jak zadanie nie do wykonania, ale na szczęście są odpowiednie twierdzenia, że wystarczy popatrzeć na generatory, czyli np zbiory otwarte albo nawet półproste!
Krótko mówiąc, wystarczy, że znajdziesz następujące przeciwobrazy \(\displaystyle{ X^{-1}((-\infty, t))}\), dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) i zrobisz z nich sigma ciało, tj. zachodzi \(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to rodzina zbiorów postaci \(\displaystyle{ \left\{\omega \in \Omega : X(\omega) < t\right\} }\), \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\). U Ciebie oczywiście \(\displaystyle{ \Omega = [0,1]}\).
Dla przykładu, wezmę sobię te zmienną \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) z treści. Dla niej mamy \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, t/2)}\) dla \(\displaystyle{ t \in (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ X^{-1}(-\infty, t) = [0, 1]}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 2}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ \sigma(X) = \sigma(\left\{ \emptyset, \hbox{zbiory postaci } [0,t/2) \hbox{ dla } t \in (0,2), [0,1]\right\} }\).
Nietrudno się przekonać, że to jest po prostu całe \(\displaystyle{ \mathcal{B}(0,1)}\), bo takie odcinki \(\displaystyle{ [0,a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in [0,1]}\) to też są generatory sigma ciała zbiorów borelowskich (w tym przypadku na \(\displaystyle{ [0,1]}\))
To teraz wezmę \(\displaystyle{ Y_1 = 1_{[0,1]}}\). Wówczas \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ t \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ Y_1^{-1}(-\infty, t) = [0,1]}\) dla \(\displaystyle{ t > 1}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \sigma(\left\{ \emptyset, [0,1]\right\}) }\), co w tym przypadku jest po prostu równe \(\displaystyle{ \sigma(Y_1) = \left\{ \emptyset, [0,1] \right\} }\), czyli sigma ciało trywialne.
Teraz spróbuj zrobić to samo dla \(\displaystyle{ Y_2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Czyli \(\displaystyle{ Y_{2}=\omega^{2} \mathbf{1}_{\left[ 0, \frac{1}{2}\right] } +\mathbf{1}_{\left[ \frac{1}{2}, 1\right] } }\).
I teraz wyznaczam
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0, \sqrt{t} \right] }\) dla \(\displaystyle{ \frac{1}{4} > t >0 }\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla\(\displaystyle{ 1 \ge t \ge \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0,1 \right] }\) dla \(\displaystyle{ t >1 }\)
Czyli \(\displaystyle{ \sigma(Y_{2})=\sigma(\emptyset,\left[ 0, \sqrt{t} \right], \left[ 0,1\right] ) }\)
Dobrze, czy pomyliłam coś, i co dalej?
I teraz wyznaczam
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla \(\displaystyle{ t \le 0}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0, \sqrt{t} \right] }\) dla \(\displaystyle{ \frac{1}{4} > t >0 }\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\emptyset }\) dla\(\displaystyle{ 1 \ge t \ge \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ Y_{2}^{-1}\left( -\infty,t\right)=\left[ 0,1 \right] }\) dla \(\displaystyle{ t >1 }\)
Czyli \(\displaystyle{ \sigma(Y_{2})=\sigma(\emptyset,\left[ 0, \sqrt{t} \right], \left[ 0,1\right] ) }\)
Dobrze, czy pomyliłam coś, i co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Uważaj gdzie jest nawias otwarty, gdzie domknięty. Dla całego tego zadania nie ma to większego znaczenia (mogłabyś patrzeć na przeciwobrazy \(\displaystyle{ (-\infty, t]}\) zamiast \(\displaystyle{ (-\infty, t)}\), a jak potem będziesz liczyć całki, to to też się nie liczy), ale ktoś mógłby się czepiać.
No dobra, podsumowując, sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_2}\) to sigma ciało generowane przez przedziały \(\displaystyle{ \left[ 0, t \right]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\) oraz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\), chociaż to można pominąć, bo z definicji sigma ciała na jakimś zbiorze, cały zbiór tam ma siedzieć.
To teraz pytanie: Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_1, Y_2)}\)? Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_3)}\)? A ile wtedy \(\displaystyle{ \sigma(Y_1,Y_2,Y_3)}\)? A ogólnie?
a nie \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\)? I formalnie, \(\displaystyle{ 1 \ge t > \frac{1}{4}}\).
ale to nie jest jeden zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0, \sqrt{t} \right]}\), tylko wszystkie takie przedzialiki dla \(\displaystyle{ t \in \left[0, \frac{1}{4}\right] }\). Lub nawet prościej można napisać po prostu \(\displaystyle{ \left[ 0, t \right]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\), bo to to samo, nie?
No dobra, podsumowując, sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_2}\) to sigma ciało generowane przez przedziały \(\displaystyle{ \left[ 0, t \right]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,\frac{1}{2}\right] }\) oraz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\), chociaż to można pominąć, bo z definicji sigma ciała na jakimś zbiorze, cały zbiór tam ma siedzieć.
To teraz pytanie: Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_1, Y_2)}\)? Ile wynosi \(\displaystyle{ \sigma(Y_3)}\)? A ile wtedy \(\displaystyle{ \sigma(Y_1,Y_2,Y_3)}\)? A ogólnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{2}{3}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},\frac{2}{3}],[0,1])}\) tak ?
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[0,1])}\)
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},\frac{2}{3}],[0,1])}\) tak ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Zapytam inaczej (zbiór pusty i całą przestrzeń pomijam, bo one z definicji są w sigma ciele), czy widzisz różnicę między sigma ciałem generowanym przez zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{2}{3} \right]}\), a sigma ciałem generowanym przez zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[0, t \right] }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t \in \left[ 0 , \frac{2}{3}\right] }\)? Bo różnica jest bardzo duża : P
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Faktycznie, bez sensu to napisałam.
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,1],[0,t])}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in [0,\frac{2}{3}]}\) czyli te sigma ciała będą miały taka samą postać tylko przedział \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmieniał. Tylko jak wtedy zapisać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})}\) I ogólnie?
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{3})=\sigma(\emptyset,[0,1],[0,t])}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in [0,\frac{2}{3}]}\) czyli te sigma ciała będą miały taka samą postać tylko przedział \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmieniał. Tylko jak wtedy zapisać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{1},Y_{2},Y_{3})}\) I ogólnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
A popatrz na to chwilkę. Wydaje mi się, ze z takiej postaci, jak masz to teraz zapisane, nietrudno się przekonać, że \(\displaystyle{ \sigma(Y_1,Y_2,Y_3) = \sigma(Y_3)}\) i dalej będzie analogicznie : )
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Czyli ostatecznie filtracja będzie miała postać \(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
\(\displaystyle{ \sigma(Y_{n})=\color{red}{\sigma} \color{black}\left\{ \emptyset,[0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\} }\),
z czego zbiór pusty bym wyrzucił z zapisu, nie ma sensu go pisać, a zbiór \(\displaystyle{ [0,1]}\) zostawił, żeby zaznaczyć, że jesteśmy na tej przestrzeni. Czyli
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_n = \sigma(Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n) = \sigma(Y_n) = \sigma\left\{ [0,1],[0,t], t\in[0,1-\frac{1}{n}] \right\}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Rozumiem, dzięki.
Zastanawiam się teraz jak mam wyznaczyć proces \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\) to mam wyznaczac dla każdego n z osobna ?
Bo jak będę miała \(\displaystyle{ X_{1}=E(X|Y_{1})}\) to mogę to zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{A}^{}2 \omega d\omega }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\)? I co dalej?
Zastanawiam się teraz jak mam wyznaczyć proces \(\displaystyle{ X_{n}=E(X|Y_{n})}\) to mam wyznaczac dla każdego n z osobna ?
Bo jak będę miała \(\displaystyle{ X_{1}=E(X|Y_{1})}\) to mogę to zapisać jako \(\displaystyle{ \int_{A}^{}2 \omega d\omega }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\)? I co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
No tak, z tym, że nie ma się co rozdrabniać. Po prostu bierzesz dowolne \(\displaystyle{ n}\) i liczysz.
a czemu tak? Niezbyt rozumiem. Podpowiem, że nie widzę innej drogi, jak napisać definicję warunkowej wartości oczekiwanej względem sigma ciała i kombinować.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Skoro mamy jakieś sigma ciało to wiemy, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall B\in F \int_{B}^{}E(X|F)dP= \int_{B}^{}XdP }\) tak?
\(\displaystyle{ \forall B\in F \int_{B}^{}E(X|F)dP= \int_{B}^{}XdP }\) tak?