Martyngały, filtracja
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Dokładnie, plus jeszcze warunek o mierzalności. Tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | Y_n)}\) jest zmienną losową, która jest \(\displaystyle{ Y_n}\) mierzalna i zachodzi taka równość, jak napisałaś, tzn
\(\displaystyle{ \int_{B} \mathbb{E}(X | Y_n)\mbox{d}\mathbb{P} = \int_{B} X \mbox{d}\mathbb{P}}\) dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\).
Bardzo ważne jest to, że ta równość ma być na zbiorach z sigma ciała względem którego wyznaczamy warunkową wartość oczekiwaną, nie ma byle jakich. Taki jest z resztą główny sens tego pojęcia.
\(\displaystyle{ \int_{B} \mathbb{E}(X | Y_n)\mbox{d}\mathbb{P} = \int_{B} X \mbox{d}\mathbb{P}}\) dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\).
Bardzo ważne jest to, że ta równość ma być na zbiorach z sigma ciała względem którego wyznaczamy warunkową wartość oczekiwaną, nie ma byle jakich. Taki jest z resztą główny sens tego pojęcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Hmm no to mam tą równość, wiem jak wygląda sima ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y_{n}}\). Jak np. \(\displaystyle{ B\in [0,t]}\), a \(\displaystyle{ t\in[0,1-\frac{1}{n}]}\) to co mogę dalej zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Przede wszystkim, skoro to ma być zmienna losowa, która jest mierzalna względem \(\displaystyle{ Y_n}\), to spodziewamy się, że będzie postaci \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | Y_n) = g(Y_n)}\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g}\), którą trzeba znaleźć. Czyli masz równanie
\(\displaystyle{ \int_{B} g(Y_n)(x) \mbox{d}x = \int_{B} 2x \mbox{d}x}\),
które ma być spełnione dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\). To pokombinuj teraz trochę - weź sobie jakiś zbiór z \(\displaystyle{ \sigma(Y_n)}\), sprawdź na nim, weź jakiś inny, spróbuj jakoś uogólnić, może coś zgadnąć, coś wyliczyć... i tu znowu, wystarczy popatrzeć na generatory, które masz scharakteryzowane w bardzo ładnej postaci, więc to nie będzie wcale takie trudne.
\(\displaystyle{ \int_{B} g(Y_n)(x) \mbox{d}x = \int_{B} 2x \mbox{d}x}\),
które ma być spełnione dla każdego \(\displaystyle{ B \in \sigma(Y_n)}\). To pokombinuj teraz trochę - weź sobie jakiś zbiór z \(\displaystyle{ \sigma(Y_n)}\), sprawdź na nim, weź jakiś inny, spróbuj jakoś uogólnić, może coś zgadnąć, coś wyliczyć... i tu znowu, wystarczy popatrzeć na generatory, które masz scharakteryzowane w bardzo ładnej postaci, więc to nie będzie wcale takie trudne.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Myślałam trochę nad tym i nie wiem jak ruszyć. Na zajęciach mieliśmy jakieś proste przykłady, gdzie np. \(\displaystyle{ Y}\) generował zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) i wtedy zapisywaliśmy \(\displaystyle{ A=1-A}\) całkę rozbijaliśmy na sumę dwóch całek jedną po zbiorze \(\displaystyle{ A}\) drugą po zbiorze \(\displaystyle{ 1-A}\) później zamienialiśmy granicę aby obie całki były po \(\displaystyle{ A}\) dodawaliśmy i otrzymywaliśmy postać warunkowej wartości oczekiwanej.
Ale tu kompletnie nie wiem od czego zacząć, nie widzę jak to mogę rozbić, rozpisać.
Ale tu kompletnie nie wiem od czego zacząć, nie widzę jak to mogę rozbić, rozpisać.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Ten przykład też jest dość prosty, bo tu z kolei \(\displaystyle{ Y_n}\) "generuje" głównie odcinki \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla odpowiedniego \(\displaystyle{ t}\). No i jeszcze jest ten zbiór \(\displaystyle{ \left( 1-\frac{1}{n} 1\right]}\), ale o tym później.
To weźmy jakiś przykładowy zbiór z tego sigma ciała, patrząc na generatory, niech on będzie postaci \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]}\). Prawa strona to po prostu \(\displaystyle{ \int_{0}^t 2\omega \mbox{d}\omega}\), co można policzyć, ale nie trzeba.
A ile jest równa lewa strona, a dokładniej, jak wygląda funkcja podcałkowa w lewej stronie, czyli \(\displaystyle{ g(Y_n)(\omega)}\), gdy jesteśmy na tym przedziale? Ile wobec tego trzeba dać (to można w banalny sposób zgadnąć albo policzyć) za \(\displaystyle{ g}\), aby była równość?
To weźmy jakiś przykładowy zbiór z tego sigma ciała, patrząc na generatory, niech on będzie postaci \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]}\). Prawa strona to po prostu \(\displaystyle{ \int_{0}^t 2\omega \mbox{d}\omega}\), co można policzyć, ale nie trzeba.
A ile jest równa lewa strona, a dokładniej, jak wygląda funkcja podcałkowa w lewej stronie, czyli \(\displaystyle{ g(Y_n)(\omega)}\), gdy jesteśmy na tym przedziale? Ile wobec tego trzeba dać (to można w banalny sposób zgadnąć albo policzyć) za \(\displaystyle{ g}\), aby była równość?
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Czyli tą funkcja podcalkowa będzie \(\displaystyle{ 2 \sqrt{Y_{n}} }\) gdy jesteśmy w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,1-\frac{1}{n}\right] }\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
A nawet jak jesteśmy na dowolnym przedziale \(\displaystyle{ [0,t]}\) dla \(\displaystyle{ \left[0, 1-\frac{1}{n}\right]}\) - więc to już prawie wszystko załatwione. Prawie, bo sprawdź teraz, co się dzieje, jak weźmiesz przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) (albo \(\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n} , 1\right] }\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
Wtedy \(\displaystyle{ E(X|Y_{n})=2 \omega}\)?
Dodano po 59 minutach 51 sekundach:
Mam jeszcze pytanie do podpunktu 3. Jeśli sprawdzam czy \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem i sprawdzam warunek \(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=X_{n}^{2}}\) I rozpisuje to następująco
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=E(E^{2}(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E^{2}(X|Y_{n})}\) I tu moje pytanie czy mogę napisać tą ostatnią równości bo gdyby tam nie było kwadratu , czyli \(\displaystyle{ E(E(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E(X|Y_{n}) }\) to to zachodzi, ale jak mamy kwadrat to tez to działa?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
Nie, policz jeszcze raz albo pokaż jak liczysz.
Niestety, ta równość jest nieprawdziwa. Tu trzeba tak wprost policzyć, po to z resztą każą w podpunkcie b) wyznaczyć dokładnie \(\displaystyle{ X_n}\).Iza8723 pisze: ↑7 gru 2021, o 00:02 Mam jeszcze pytanie do podpunktu 3. Jeśli sprawdzam czy \(\displaystyle{ Y_{n}=X_{n}^{2}}\) jest martyngałem i sprawdzam warunek \(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=X_{n}^{2}}\) I rozpisuje to następująco
\(\displaystyle{ E(X_{n+1}^{2}|Y_{n})=E(E^{2}(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E^{2}(X|Y_{n})}\) I tu moje pytanie czy mogę napisać tą ostatnią równości bo gdyby tam nie było kwadratu , czyli \(\displaystyle{ E(E(X|Y_{n+1})|Y_{n})=E(X|Y_{n}) }\) to to zachodzi, ale jak mamy kwadrat to tez to działa?
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Martyngały, filtracja
\(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}} }\) dla przedziału \(\displaystyle{ [0,1-\frac{1}{n}]}\)
\(\displaystyle{ X_{n}=2-\frac{1}{n}}\) dla przedziału \(\displaystyle{ [1-\frac{1}{n},1]}\)
A czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}}=2\omega }\) I tak zostawić?
\(\displaystyle{ X_{n}=2-\frac{1}{n}}\) dla przedziału \(\displaystyle{ [1-\frac{1}{n},1]}\)
A czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ X_{n}=2 \sqrt{Y_{n}}=2\omega }\) I tak zostawić?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Martyngały, filtracja
ale dla przedziału \(\displaystyle{ \left[0,1-\frac{1}{n}\right]}\)? Tak.
I zauważ, że to musiało tyle wyjść. Jeśli jesteśmy na przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1-\frac{1}{n}\right]}\) to jesteśmy w stanie zapisać funkcję \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) w terminach \(\displaystyle{ Y_n(\omega) = \omega^2}\) jako przekształcenie przez funkcję \(\displaystyle{ g(x) = 2\sqrt{x}}\). Więc tutaj to rzutowanie (czyli branie warunkowej wartości oczekiwanej) niczego nie zmienia - funkcja \(\displaystyle{ X}\) generuje to samo sigma ciało, co funkcja \(\displaystyle{ Y_n}\). Natomiast jak jesteśmy na przedziale \(\displaystyle{ \left[1-\frac{1}{n},1\right]}\), to już nie zapiszemy \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\) w terminach \(\displaystyle{ Y_n(\omega) = 1}\) i jedyne co możemy dla tak ubogiej funkcji zrobić, to wziąć uśrednienie po tym przedziale - tak jak mówi warunkowa wartość oczekiwana. Rzeczywiście, zobacz, że to jest uśrednienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left| \left[1-\frac{1}{n},1\right] \right|} \int_{1-\frac{1}{n}}^1 2\omega \mbox{d}\omega = n\left(1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2\right) = 2 - \frac{1}{n}}\).
Podsumowując, wychodzi, że \(\displaystyle{ X_n(\omega) = 2\omega 1_{\left[0,1-\frac{1}{n}\right)} + \left(2-\frac{1}{n}\right) 1_{\left( 1-\frac{1}{n} , 1\right]}}\).
Dodano po 14 godzinach 39 minutach 48 sekundach:
A propos punktu c), dodam jeszcze, że to nie wychodzi martyngał.