Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_{i}\right\} }\) będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie i takim, że \(\displaystyle{ E|X_{i}|<\infty}\). Niech \(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n}X_{i} }\) i niech \(\displaystyle{ F_{n}=\sigma(S_{n}, S_{n+1},...)}\).Wyznacz \(\displaystyle{ E( \sum_{i=1}^{n} a_{i}X_{i}|F_{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}=1}\).
Zaczęłam rozpisywać sumę, następnie dostałam \(\displaystyle{ E(a_{1}X_{1}|F_{n})+...+E(a_{n}X_{n}|F_{n})}\), ale nie wiem co dalej z tym zrobić, mogę wyciągnąć chyba \(\displaystyle{ a}\) przed wartość oczekiwaną, ale nie wiem co dalej
Widziałaś kiedyś taki fakt, że dla całkowalnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\), niezależnych, o tym samym rozkładzie, zachodzi: \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | X+Y) = \mathbb{E}(Y | X + Y)}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X | X + Y) = \frac{X+Y}{2}}\)?
Jeśli nie, to spróbuj to pokazać - pierwsza równość idzie z napisania definicji warunkowej wartości oczekiwanej, tzn. musisz udowodnić, że zachodzi
\(\displaystyle{ \int_{A} X\hbox{d} \mathbb{P} = \int_{A} Y\hbox{d} \mathbb{P}}\) dla \(\displaystyle{ A \in \sigma(X+Y)}\),
co nie jest trudne - trzeba popatrzeć jakiej postaci jest \(\displaystyle{ A}\), wziąć rozkład łączny \(\displaystyle{ (X,Y)}\), użyć założeń i już. A druga równość to konsekwencja pierwszej. To zadanie się sprowadza do użycia właśnie tego faktu.
