Przydział do grup

[Karka20]

Są dwie grupy: \(\displaystyle{ G_1}\) i \(\displaystyle{ G_2}\), z których każda ma limit \(\displaystyle{ 10}\) osób. Do grup zapisze się \(\displaystyle{ 20}\) osób i w momencie zapisów każda osoba poda numer grupy, do której chciałaby należeć (niezależnie od pozostałych osób); prośba ta zostanie natychmiast spełniona, jeżeli w danej grupie będzie jeszcze miejsce. Grupa \(\displaystyle{ G_1}\) będzie preferowana z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{9}{21}}\), a grupa \(\displaystyle{ G_2}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{12}{21}}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, ze w momencie gdy jedna z grup się zapełni, w drugiej pozostaną 3 miejsca wolne.

[kerajs]

\(\displaystyle{ P= {16 \choose 9}\left( \frac{12}{21} \right)^{10}\left( \frac{9}{21} \right)^7+{16 \choose 9}\left( \frac{9}{21} \right)^{10}\left( \frac{12}{21} \right)^7 }\)

[Karka20]

\(\displaystyle{ P= {16 \choose 9}\left( \frac{12}{21} \right)^{10}\left( \frac{9}{21} \right)^7+{16 \choose 9}\left( \frac{9}{21} \right)^{10}\left( \frac{12}{21} \right)^7 }\)

Dziękuję bardzo za odpowiedź

Mam jedynie pytanie skąd \(\displaystyle{ {16 \choose 9}}\) ?

[kerajs]

Aby być pewnym, że jedna z grup się zapełni gdy w drugiej pozostaną dokładnie 3 miejsca wolne, to wśród 17 zapisanych ostatnią musi być osoba zapełniająca ostatnie z dziesięciu miejsc w pełnej grupie. Współczynnik o który pytasz to liczba rozmieszczeń pozostałych dziewięciu osobników z pełnej grupy (czyli jako którzy się zapisywali wśród 16 zdecydowanych).