zbieżność według rozkładu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Papabile
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 gru 2018, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

zbieżność według rozkładu

Post autor: Papabile »

Witam, mam następujące zadanie:
Zmienne \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},...}\) są niezależne o raz \(\displaystyle{ P(X_{n}=4n)=\frac{1}{5}}\) i \(\displaystyle{ P(X_{n}=−n)=\frac{4}{5}}\). Czy ciąg zmiennych \(\displaystyle{ n^{\frac{-3}{2}}(X_{1}+...+X_{n})}\) jest zbieżny według rozkładu? Do jakiej granicy?


I tak mało formalnie rozpisuje tą sumę z prawdopodobieństwa całkowitego jako:
\(\displaystyle{ n^{\frac{-3}{2}}(X_{1}+...+X_{n})=n^{\frac{-3}{2}}\left( \frac{1}{5}\left( \sum_{i=1}^{n} 4i \right) +\frac{4}{5}\left( \sum_{i=1}^{n} -i \right)\right)=n^{\frac{-3}{2}}\left( \frac{1}{5}\left( 4 \cdot \sum_{i=1}^{n} i \right) +\frac{4}{5}\left( -1 \cdot \sum_{i=1}^{n} i \right)\right)=n^{\frac{-3}{2}}\left( \frac{4}{5}\left( \sum_{i=1}^{n} i \right) -\frac{4}{5}\left( \sum_{i=1}^{n} i \right)\right)=0 }\)
A więc przykładając \(\displaystyle{ P}\) obustronnie mamy:
\(\displaystyle{ P\left(n^{\frac{-3}{2}}(X_{1}+...+X_{n}) \right)=P\left( 0\right) =0 }\)

Ale nie wiem czy jest to w ogóle dobry sposób i jak tu pokazać tą zbieżność według rozkładu skoro nigdzie nie mam żadnej ciągłej i ograniczonej funkcji \(\displaystyle{ f}\) która występuje w definicji tej zbieżności.
ODPOWIEDZ