Zadanie z prawdopodobieństwa

[osesekk12]

Hej,
mam pewne zadanie, a mianowicie:

Kasa biletowa dworca autobusowego jest w stanie obsłużyć maksymalnie \(\displaystyle{ k}\) podróżnych. Zakładamy, że strumień zgłoszeń jest strumieniem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przed kasą nie będzie się ustawiać kolejka (kasa nie będzie przeciążona). Jakie jest obciążenie kasy? (\(\displaystyle{ \lambda = 1, 2, …, 7}\) oraz \(\displaystyle{ k = 10}\)).

Czy jest ktoś w stanie ukierunkować mnie w jakiej literaturze można znaleźć rozwiązania zadań tego typu, ewentualnie od jakich definicji/wzorów wystartować?

[janusz47]

Strumień Poissona

Prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ k, \ \ k\in \NN }\) zdarzeń:

\(\displaystyle{ P_{k}(t) = \frac{(\lambda t)^{k}}{k!}, \ \ k\ge 0, \ \ t \ge 0. }\)

Dla danych

\(\displaystyle{ \lambda = 1,2,...,7 }\) obliczamy wartości sum:

\(\displaystyle{ P(\{ k\leq 10\}) = \sum_{k=0}^{10} P_{k}(t)}\)

Literatura:
Bogusław Filipowicz. Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych. WNT Warszawa 1996.

Dodano po 18 minutach 57 sekundach:
J.F.C Kingman. Procesy Poissona WN. PWN Warszawa 2002.

[osesekk12]

Bardzo dziękuję. Wszystko wydaje się być jasne, tylko nie do końca rozumiem skąd wziąć wartość czasu \(\displaystyle{ t}\) w przypadku tego zadania.

[janusz47]

W treści zadania nie mamy podanego przedziału czasowego \(\displaystyle{ t, }\) przyjmujemy najczęściej w tym modelu \(\displaystyle{ t = 1 min. }\)

Przeprowadzając analizę prawdopodobieństwa przybycia podróżnych do kasy, powinen Pan odpowiedzieć na następujące pytania:

Od czego zależy prawdopodobiestwo przybycia klientów do kasy w ciągu jednej minuty?

Co oznaczają wartości intesywności \(\displaystyle{ \lambda = 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7 }\) ?

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ \lambda }\) prawdopodobieństwo to jest największe?

Jaka jest wartość tego prawdopodobieństwa ?

Jak interpretujemy otrzymaną jego wartość ?

[osesekk12]

Otrzymałem następujące wyniki dla prawdopodobieństw w zależności od \(\displaystyle{ \lambda}\):

Dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) wartość \(\displaystyle{ P(k \le 10)=1.000000}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda=7}\) wartość \(\displaystyle{ P(k \le 10)=0.901479}\)

Zatem wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ \lambda}\) maleje wartość \(\displaystyle{ P_k}\) (resztę wniosków można opisać na podstawie uzyskanych wyników i literatury). Enigmatycznym pozostaje dla mnie obciążenie. Znalazłem następujący wzór:

\(\displaystyle{ \rho= \frac{\text{średnia liczba zgłoszeń na minutę}}{\text{maksymalna liczba obsłużonych zgłoszeń}}}\)

Jednak nie do końca wiem, jak użyć go w przypadku tego zadania.

[janusz47]

Obciążenie kasy biletowej zależy od intensywności \(\displaystyle{ \lambda}\) przybywających podróżnych.

Średnie intensywność podróżych przybywających do kasy:

\(\displaystyle{ \lambda_{śr} = \frac{1}{7}(\lambda_{1} +\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}+\lambda_{5}+\lambda_{6}+\lambda_{7}).}\)

Średnie obciążenie kasy w ciągu minuty

\(\displaystyle{ E = \sum_{i=1}^{7} \lambda_{i}\cdot p_{i} = \ \ ...}\)

[osesekk12]

Jeśli dobrze rozumiem, to wspomniane \(\displaystyle{ \rho}\) określamy zatem jako:

\(\displaystyle{ \rho= \frac{\lambda_{śr}}{E} }\)

Wyliczając i podstawiając otrzymujemy, więc:

\(\displaystyle{ \rho=\frac{4}{26.9739}=0,14823}\)

Zatem obciążenie wynosi 14.8% - chyba, że źle zrozumiałem to zagadnienie.

[janusz47]

Obciążenie kasy:

\(\displaystyle{ \rho = \frac{4}{10} = 0,25 = 25\%. }\)

\(\displaystyle{ E }\) - wartość średnia intensywności.

[osesekk12]

Jeśli mógłbym zapytać, skąd wzięło się 10? Za wartości \(\displaystyle{ p_i}\) przyjąłem wartości prawdopodobieństwa wyliczone dla poszczególnych \(\displaystyle{ \lambda}\) i prawdopodobnie tu jest błąd.

Edit: Rozumiem, że 10 to maksymalna ilość pasażerów, jaką można obsłużyć, a \(\displaystyle{ E}\) nie ma tu znaczenia, czyli de facto \(\displaystyle{ \rho=\frac{\lambda_{śr}}{k}}\)

[janusz47]

Tak.

[osesekk12]

Zatem wszystko zrozumiałe. Bardzo dziękuję Panu za pomoc.

[janusz47]

\(\displaystyle{ 0,4 = 0,40 = 40\% .}\)

Przepraszam za pomyłkę.