Moment stopu i jego kwadrat

[strefa61]

Niech \(\displaystyle{ \tau}\) będzie momentem stopu względem filtracji \(\displaystyle{ F_{t\in\mathbb{T}}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{T}=\left[ 0, + \infty \right)}\). Czy \(\displaystyle{ \tau ^2}\) jest momentem stopu?
Chciałbym się dowiedzieć czy to po prostu jest ok:

Pytamy czy dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{T}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left\{\tau ^2 \leq t \right\} \in F_t}\), czyli (bo wszystko jest określone na liczbach nieujemnych) \(\displaystyle{ \left\{ \tau \leq \sqrt{t}\right\} }\), a to z założeń należy do \(\displaystyle{ F_\sqrt{t}}\), bo \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem stopu i \(\displaystyle{ \sqrt{t}}\) jest bijekcją na \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\).


I jeszcze sytuacja \(\displaystyle{ \mathbb{T}=\mathbb{N}}\), ale na razie nie mam pomysłu. Spróbuję coś wymyślić, ale bardzo prosiłbym o potwierdzenie lub zaprzeczenie rozwiązaniu, które dałem.

[Tmkk]

Ale nie dokończyłeś.

Jak z tego, że \(\displaystyle{ \left\{ \tau \le \sqrt{t}\right\} \in \mathcal{F}_{\sqrt{t}} }\) wynika, że \(\displaystyle{ \left\{ \tau^2 \le t\right\} \in \mathcal{F}_t }\)?

[strefa61]

Mmm, chyba teraz widzę. Dla \(\displaystyle{ t>1}\) to się rozleci, bo \(\displaystyle{ F_\sqrt{t} \subset F_t}\). Ale jakbym wziął tylko \(\displaystyle{ t \le 1}\), to już by działało, bo \(\displaystyle{ F_t \subset F_\sqrt{t} }\), bo \(\displaystyle{ t<\sqrt{t}}\), nie?

[Tmkk]

Na odwrót - pamiętaj, że chcesz mieć należenie do \(\displaystyle{ \mathcal{F}_t}\), a nie \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\sqrt{t}}}\). Dla \(\displaystyle{ t \ge 1}\) właśnie jest dobrze, bo wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{t} \le t}\) i zachodzi

\(\displaystyle{ \left\{ \tau^2 \le t\right\} = \left\{ \tau \le \sqrt{t}\right\} \in \mathcal{F}_{\sqrt{t}} \subset \mathcal{F}_t}\).

A dla \(\displaystyle{ t < 1}\) nie działa.